Question

Resolva as expressões numéricas abaixo e decida se o resultado destas expressões são números reais racionais ou reais irracionais e justifique sua resposta.


a) 3√80 + √20 − √125 =


b) (√6 + 3) ∙ (√6 − 3) =

2

c) (3 + 2√5) =


d) 3√192 − (23√3 − 3√3) =

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf 3\sqrt{80}+\sqrt{20}-\sqrt{125}$

$\sf =3\sqrt{2^4\cdot5}+\sqrt{2^2\cdot5}-\sqrt{5^2\cdot5}$

$\sf =3\sqrt{(2^2)^2\cdot5}+\sqrt{2^2\cdot5}-\sqrt{5^2\cdot5}$

$\sf =3\cdot4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{5}$

$\sf =12\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{5}$

$\sf =14\sqrt{5}-5\sqrt{5}$

$\sf =\red{9\sqrt{5}~\Rightarrow~real~irracional}$

=> o produto de um número racional e um número irracional é um número irracional

b)

$\sf (\sqrt{6}+3)\cdot(\sqrt{6}-3)$

$\sf =\sqrt{36}-3\sqrt{6}+3\sqrt{6}-9$

$\sf =6-9$

$\sf =\red{-3~\Rightarrow~real~racional}$

=> todo número inteiro é racional

c)

$\sf (3+2\sqrt{5})^2$

$\sf =3^2+2\cdot3\cdot2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^2$

$\sf =9+12\sqrt{5}+4\cdot5$

$\sf =9+12\sqrt{5}+20$

$\sf =\red{29+12\sqrt{5}~\Rightarrow~real~irracional}$

=> a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional

d)

$\sf 3\sqrt{192}-(23\sqrt{3}-3\sqrt{3})$

$\sf =3\sqrt{2^6\cdot3}-20\sqrt{3}$

$\sf =3\sqrt{(2^3)^2\cdot3}-20\sqrt{3}$

$\sf =3\cdot2^3\sqrt{3}-20\sqrt{3}$

$\sf =3\cdot8\sqrt{3}-20\sqrt{3}$

$\sf =24\sqrt{3}-20\sqrt{3}$

$\sf =\red{4\sqrt{3}~\Rightarrow~real~irracional}$

=> o produto de um número racional e um número irracional é um número irracional