Question

A reta r contém os pontos (4, 2) e (7, 3). o valor de k, para que o ponto (1, k) pertença a r é :
*****Urgente *****

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{k=1~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, existem diversas maneiras, então utilizaremos matrizes para determinarmos o valor de $k$.

Sejam os pontos $(4,~2)$ e $(7,~3)$ contidos na reta $r$. Devemos determinar o valor de $k$ para que o ponto $(1,~k)$ pertença a $r$.

De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, o determinante da matriz formada da seguinte maneira pelas coordenadas $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$e $(x_3,~y_3)$dos pontos contidos em uma mesma reta deve ser igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Então, substituindo as coordenadas dos pontos conhecidos, teremos:

$\begin{vmatrix}4&2&1\\7&3&1\\1&k&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}4&2&1\\7&3&1\\ 1&k&1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4&2 \\ 7&3\\ 1&k\\\end{matrix}\right.=0$

Aplique a Regra de Sarrus:

$4\cdot3\cdot1+2\cdot1\cdot1+1\cdot7\cdot k-(2\cdot7\cdot1+4\cdot1\cdot k+1\cdot3\cdot1)=0$

Multiplique os valores

$12+2+7k-(14+4k+3)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$12+2+7k-14-4k-3=0$

Some os termos semelhantes

$3k-3=0$

Some $3$ em ambos os lados da equação

$3k=3$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$k=1$

Este é o valor de $k$ que buscávamos e faz com que o ponto $(1,~1)$ pertença à reta $r$.