Question

Observe a figura e responda:

Sabendo que AB=√3 e escrevendo o perímetro da figura como: P=a+b√2+c√3+d√6 ; a,b,c,d ∈ ℚ

Determine o valor de: a+b+c+d



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Answer 1

Resposta:

a+b+c+d = 13

Explicação passo-a-passo:

Aproveitando a explicação do exercício anterior que era semelhante, podemos encontrar todos os lados do nosso polígono irregular a partir da análise dos 4 triângulos retângulos que o formam.

Sendo AB = √3 então temos que AF = √3 pois o triângulo AFB é isósceles (confira que o ângulo AFB é igual ao ângulo FBA já que é 180º - 90 º - 45º) com os lados AB = AF.

Sabemos que FB é a hipotenusa do triângulo AFB:

FB² = AB² + AF²

FB² = 3 + 3

FB² = 6

FB = √6

Com essa informação podemos encontrar EF a partir da tangente de EBF:

tg (30º) = √3 / 3 e também tg (30º) = EF / √6

Portanto √3 / 3  = EF / √6

√3 * √(2*3) / 3 = EF

3√2/3  = EF

√2 = EF

Com EF podemos agora encontrar EB, que é a hipotenusa do triângulo EBF:

EB² = EF² + FB²

EB² = 2 + 6

EB = √8

e conhecendo EB podemos encontrar o valor de ED através da tangente de 60º

tan(60º) = √3 e também tan(60º) = ED/√8

Portanto √3 = ED/√8

ED = √3 * √8 = √24

Assim como o triângulo AFB, o triângulo BDC é isósceles, o que nos permite descobrir seus dois catetos BC e DC a partir de sua hipotenusa BD.

BD² = BE² + ED²

BD² = 8 + 24

BD = √32

Sendo BC = DC chamemos então eles de x:

BD² = x² + x²

32 = 2x²

16 = x²

√16 = x

4 = x

Portanto BC = DC = 4.

Por fim, Perímetro = AF + FE + ED + DC + CB + BA = a+b√2+c√3+d√6

√3 + √2 + √24 + 4 + 4 + √3 = a+b√2+c√3+d√6

8 + √2 + 2√3 + 2√6 = a+b√2+c√3+d√6

a = 8

b = 1

c = 2

d = 2

a+b+c+d = 13

Bons estudos. ;)