Question

Quantas senhas com 3 algarismos DIFERENTES podemos escrever utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Answer 1

um monte exemplos    

123 321 231 745 356 938 172

Answer 2

Resposta:

Poderemos escrever 504 senhas, com 3 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Explicação passo a passo:

A Tarefa nos propõe determinar o número de senhas, com 3 algarismos diferentes, que podemos escrever com os algarismos de 1 a 9.

Para a resolução do exercício, nós podemos utilizar tanto o Princípio Fundamental da Contagem, quanto a Fórmula do Arranjo Simples.

Iniciemos, utilizando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que comporão a senha, nós teremos a seguinte situação:

• 9 opções de números para o algarismo das unidades;
• 8 opções de números para o algarismo das dezenas, haja vista que já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e não pode haver repetição de algarismos;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e 1 algarismo na casa das dezenas.

Assim, o número de senhas será dado pela seguinte multiplicação:

$9\times8\times7=72\times7=504~senhas$

Uma outra maneira de resolvermos a Tarefa consiste no uso de fórmula de análise combinatória.

Para nós identificarmos qual fórmula utilizar, devemos entender que a ordem dos algarismos é muito importante. Por exemplo, a senha 123 é diferente da senha 321, embora tenham sido empregados os mesmos algarismos: 1, 2, 3.

Portanto, a fórmula que iremos empregar é a fórmula do arranjo simples de 9 elementos (algarismos de 1 a 9) para serem agrupados de 3 a 3 (senhas com 3 algarismos diferentes).

Eis o cálculo:

$A_{9,3}=\frac{9!}{(9-3)!}\\A_{9,3}=\frac{9!}{6!}\\A_{9,3}=\frac{9\times8\times7\times6!}{6!}\\A_{9,3}=9\times8\times7\\A_{9,3}=72\times7\\A_{9,3}=504~senhas$

Poderemos escrever 504 senhas, com 03 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.