Question

Eu estava estudando e percebi que:

$\phi^1 = 1\cdot \phi+0 \\~\\\phi^2 = 1\cdot \phi+1\\~\\ \phi^3 = 2\cdot \phi +1\\~\\\phi^4 = 3\cdot \phi +2 \\~\\\phi^5 = 5\cdot\phi+3 \\~\\\phi^6 = 8\cdot\phi+5\\~\\\\\text{ \:\:\:\:\:\:\:....} \\~\\\\\phi^{n-1} = f_{n-1}\cdot\phi+f_{n-2} \\~\\\phi^{n} = f_n\cdot\phi+f_{n-1}$

Onde $\phi$ é a razão dourada e $f$ corresponde aos números de fibonnaci.

Isso é verdade sempre?

Answer 1

É sabido que o famoso número de ouro — representado pela letra grega ɸ (phi) — provém da equação quadrática x² = x + 1, isto é, ele é uma (a maior) de suas raízes. Por este motivo, podemos escrever:

$\sf \boxed{\sf \phi^2=1\cdot \phi+1}\\\\ \phi\cdot \phi^2=\phi\cdot(\phi+1)\\\\ \phi^3=\phi^2+\phi\qquad\big(usando\ \phi^2=\phi+1\big)\\\\ \phi^3=(\phi+1)+\phi\\\\ \boxed{\sf \phi^3=2\cdot \phi+1}\\\\ \phi\cdot \phi^3=\phi\cdot (2\phi+1)\\\\ \phi^4=2\:\!\phi^2+\phi\qquad\big(relembrando\ que\ \phi^2=\phi+1\big)\\\\ \phi^4=2\:\!(\phi+1)+\phi\\\\ \phi^4=2\,\!\:\!\phi+2+\phi\\\\ \boxed{\sf \phi^4=3\cdot \phi+2}\\ \vdots$

$\boxed{\sf \phi^5=5\cdot\phi+3}\\ \vdots$

$\boxed{\sf \phi^6=8\cdot\phi+5}\\ \vdots$

Baseando-se em todas as igualdades adquiridas acima e recordando que $\sf f_{n}$ denota o enésimo termo da sequência de Fibonacci, conjecturamos que

$\sf \phi^n=f_n\cdot \phi+f_{n-1}\qquad(\:I\:)$

, para todo inteiro n ≥ 2. Como vemos, já temos a fórmula fechada ( I ), agora é só mostrar que ela é satisfeita para qualquer inteiro positivo n satisfazendo a condição imposta anteriormente. Com este objetivo, faremos uso de uma ferramenta poderosíssima e extremamente útil, que é o Princípio da Indução Finita, comumente designado apenas por PIF. Semelhantemente à toda demonstração via PIF, verificaremos primeiro se a referida fórmula é verdadeira para o elemento mínimo n = 2 (base de indução), depois suporemos sua validade para qualquer natural k ≥ 2 (hipótese de indução) e, por último, tentaremos provar que ela também vale para o sucessor k + 1 de k.

➯ Base de indução

Do início desta resolução, tiramos que o número ɸ é uma das raízes de x² = x + 1. Portanto, é verdade que

$\sf \phi^2=\phi+1\\\\ \phi^2=1\cdot \phi+1\\\\ \phi^2=f_{2}\cdot \phi+f_1\\\\ \phi^2=f_2\cdot \phi+f_{2-1}$

➯ Hipótese de indução

Admitamos que a tal fórmula fechada seja verdadeira para todo k ≥ 2, ou melhor,

$\sf \phi^k=f_k\cdot \phi+f_{k-1}\ \:\!\rightarrow\ \, \:\! \forall\, k\geq2\qquad(\:II\:)$

Partindo da equação ( II ), ficaremos com

$\sf \phi^k=f_k\cdot \phi+f_{k-1}\\\\ \phi\cdot \phi^k=\phi\cdot (f_k\cdot \phi+f_{k-1})\\\\ \phi^{k+1}=f_{k}\cdot \phi^2+\phi\cdot f_{k-1}\qquad\big(substituindo\ \phi^2\ por\ \phi+1\big)\\\\ \phi^{k+1}=f_k\cdot (\phi+1)+\phi\cdot f_{k-1}\\\\ \phi^{k+1}=f_k\cdot \phi+f_k+f_{k-1}\cdot \phi\\\\ \phi^{k+1}=f_{k-1}\cdot \phi+f_k\cdot \phi+f_k\\\\\phi^{k+1}=(f_{k-1}+f_k)\cdot \phi+f_k\qquad \big(f_{k-1}+f_k=f_{k+1}\big)\\\\ \phi^{k+1}=f_{k+1}\cdot \phi+f_{(k+1)-1}\quad$

, ou seja, a fórmula ( I ) é válida para k + 1. Enfim, provamos que, para qualquer inteiro n ≥ 2, temos sempre

$\boxed{\sf \phi^n=f_n\cdot \phi+f_{n-1}}$

Resposta: sim.

1.ª Obs.: como vimos, a maior raiz da equação x² = x + 1 é igual a

$\sf \phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}61\!\:\!\:\!803\!\:\!\:\!398875$

2.ª Obs.: as raízes da equação x² = x + 1 são ɸ e – ɸ⁻¹, e ambas devem satisfazer a equação

$\sf x^n=f_n\cdot x+f_{n-1}$

, isto é,

$\begin{cases}\sf \phi^n=f_n\cdot \phi+f_{n-1}\\ \\ \sf (-\phi)^{-n}=-\,f_n\cdot \phi^{-1}+f_{n-1}\end{cases}\ \implies\ \ \ \ \: \sf \boxed{\sf f_n=\dfrac{\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}}$

, que é a fórmula do termo geral da sequência de Fibonacci.

3.ª Obs.: o número ɸ pode ser expresso como a raiz quadrada de um radicando infinito, como segue:

$\sf \phi^2=\phi+1\\\\ \phi=\sqrt{1+\phi}\\\\ \phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\phi}}}\\\\ \phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\phi}}}\\\\ \phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\phi}}}}\\\\\\ \vdots\\\\ \sf \phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}$

4.ª Obs.: curiosamente, ɸ também resulta numa fração contínua ilimitada (ou infinita). Mais precisamente, é verdade que

$\begin{array}{l}\sf \phi^2=\phi+1\\\\\\ \sf \phi=1+\dfrac{1}{\phi}\\\\\\ \sf \phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\phi}}\\\\\\ \sf \phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\phi}}}\\\\\\ \sf \phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\phi}}}}\\\\ \vdots\\\\\\ \sf \phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\quad \ddots}}}}}\end{array}$