Question

Em um triangulo retangulo a hipotenusa mede 8cm e a projecao de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 5 cm. Nessas condicoes, determine as medidas dos catetos e a medida da altura relativa a hipotenusa?
a=8cm
m=5cm
n=a+m=8-5=3cm

Answer 1

Vamos lá.

Veja que é simples.
Tem-se que, num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 8 cm e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 5 cm.
Nessas condições são pedidas as seguintes informações: a medida de cada cateto e a medida da altura relativa à hipotenusa.

Bem, vamos por parte e vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. Para isso, vamos chamar a hipotenusa de "a" ; os catetos de "b" e "c", a altura de "h" e as projeções de cada cateto sobre a hipotenusa de "m" e de "n".

i) Note que, sendo a hipotenusa igual a 8 cm e considerando que as projeções *"n" e "n") de cada cateto sobre a hipotenusa soma o seu valor, então teremos que:

m + n = 8 ------ como uma das projeções é igual a 5cm (digamos que a projeção "m" = 5), então teremos:

5 + n = 8
n = 8 - 5
n = 3 cm <--- Esta é a medida da projeção "n".

ii) Agora note que cada cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa vezes a sua respectiva projeção. Então teremos isto:

b² = a*m ----- substituindo "a" por "8" e "m" por "5", teremos:
b² = 8*5
b² = 40
b = +-√(40) ----- note que 40 = 2³.5 = 2².2.5 = 2².10. Assim, ficaremos:
b = +-√(2².10) ---- note que o "2", por estar ao quadrado, sai de dentro da raiz, ficando:

b = +- 2√(10) ----- como a medida não é negativa, então ficamos apenas com a raiz positiva e igual a:

b = 2√(10) cm <---- Esta é a medida do cateto "b".

Agora vamos calcular a medida do cateto "c", que será obtida por:

c² = a*n ----- substituindo-se "a" por "8" e "n" por "3", teremos:
c² = 8*3
c² = 24
c = +-√(24) ----- note que 24 = 2³.3 = 2².2.3 = 2².6 . Assim:
c = +-√(2².6) ---- como o "2" está ao quadrado, ele sai de dentro da raiz, ficando:

c = +-2√(6) ----- como a medida do cateto não é negativa, tomamos apenas a raiz positiva e igual a:

c = 2√(6) cm <--- Esta é a medida do cateto "c".


iii) Agora vamos calcular a medida da altura (h).
Veja que a altura (h) é obtida pela seguinte relação métrica:

ah = bc ----- substituindo "a", "b" e "c" por seus valores já vistos antes, temos:

8h = 2√(10)*2√(6)
8h = 2*2√(10*6)
8h = 4√(60) ----- veja que 60 = 2².15 . Assim:
8h = 4√(2².15) ---- como o "2" está ao quadrado, ele sai de dentro da raiz, ficando:

8h = 4*2√(15)
8h = 8√(15) ---- dividindo ambos os membros por "8", ficaremos apenas com:
h = √(15) cm <---- Esta é a medida da altura.

iv) Finalmente, resumindo, temos que as medidas de cada cateto e da altura são:

b = 2√(10)cm; c = 2√(6) cm; e h = √(15) cm <--- Esta é a resposta.

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.