04. Para abrir uma valeta de 300 m de comprimento por 2 m de profundidade e 80 cm de
largura, 25 operários do Serviço de Aguas e Esgotos levaram 40 dias. Se o número de
operários e diminuido em 20%, a profundidade da valeta aumentada em 50% e a
largura diminuida em 25%, quantos dias são necessários para abrir 160 m de valeta?
Respostas
Explicação passo-a-passo:
Para aplicar a regra de três composta, vamos primeiro identificar cada uma das grandezas envolvidas:
A - Comprimento da valeta (em metros)
B - Profundidade da valeta (em centímetros)
C - Largura da valeta (em centímetros)
D - Quantidade de operários trabalhando
E - Tempo necessário de serviço (em dias)
Essa questão diferencia das outras porque não nos da diretamente alguns dos novos valores, mas sim o representam através de porcentagem. Desse modo, vamos desmistificar as porcentagens e descobrir os valores procurados.
Primeiro o problema nos diz que o número de operários será aumentado em 20%. Ou seja queremos saber quanto é 20% de 25 operários:
\frac{20*25}{100}= 5
100
20∗25
=5
Portanto, para essa nova tarefa existirá mais 5 operários, resultando num total de 30.
A profundidade da valeta será aumentada em 50%. Como inicialmente ela tinha 2cm de profundidade, sabemos que 50% (ou metade) disso é 1cm. Logo, a nova profundidade será de 3cm.
Por fim, a largura será diminuída em 25% de um inicial de 80cm. Vejamos quanto é 25% de 80:
\frac{25*80}{100}= 20
100
25∗80
=20
Logo, a largura será diminuída em 20cm, tendo como novo valor 60cm.
O comprimento da valeta nos foi dado (160m) e queremos descobrir quantos dias serão necessários para essa tarefa.
Com isso, podemos esquematizar o seguinte:
\begin{gathered}A\:\:\:\:\:\:\:B\:\:\:\:C\:\:\:\:\:D\:\:\:\:\:E \\ \frac{300}{160}\:\:\:\:\frac{2}{3}\:\:\:\:\frac{80}{60}\:\:\:\:\frac{25}{30}\:\:\:\:\frac{10}{x}\end{gathered}
ABCDE
160
300
3
2
60
80
30
25
x
10
Como a nossa incógnita está na grandeza E, devemos comparar cada uma das outras grandezas com E (tempo necessário) para descobrir se são diretamente ou inversamente proporcionais:
A: Quanto maior o comprimento da valeta, mais trabalho existirá e maior será o tempo necessário. Então, A e E são diretamente proporcionais.
B: Quanto mais fundo for a valeta, também existirá mais trabalho a ser feito e maior será o tempo gasto. Então, B e E são diretamente proporcionais.
C: Do mesmo modo, quanto maior a largura da valeta, maior será o tempo necessário de trabalho. Portanto, C e E são diretamente proporcionais.
D: Quanto mais operadores tiverem em trabalho, menor será o tempo gasto na tarefa. Então, D e E são inversamente proporcionais.
Lembrando que uma grandeza inversamente proporcional é invertida na relação, temos que:
\begin{gathered}A\:\:\:\:\:\:\:B\:\:\:\:C\:\:\:\:\:D\:\:\:\:\:E \\ \frac{300}{160}\:\:\:\:\frac{2}{3}\:\:\:\:\frac{80}{60}\:\:\:\:\frac{30}{25}\:\:\:\:\frac{10}{x}\end{gathered}
ABCDE
160
300
3
2
60
80
25
30
x
10
Agora podemos desenvolver a expressão:
\begin{gathered}\frac{300}{160}*\frac{2}{3}*\frac{80}{60}*\frac{30}{25}=\frac{10}{x} \\ \\ \frac{300*2*80*30}{160*3*60*25}= \frac{10}{x} \\ \\ \frac{1440000}{720000}= \frac{10}{x} \\ \\ 1440000x=7200000 \\ \\ \boxed{x = 5}\end{gathered}
160
300
∗
3
2
∗
60
80
∗
25
30
=
x
10
160∗3∗60∗25
300∗2∗80∗30
=
x
10
720000
1440000
=
x
10
1440000x=7200000
x=5
Concluímos então que o tempo gasto para essa tarefa seria de 5 dias.
Bons estudos!