Question

Para cada inteiro positivo N, a média dos N primeiros termos de uma sequência é N. Qual é o 2008º termo dessa sequência?

A) 2008
B) 4015
C) 4016
D) 4030056
E) 4032064

Answer 1

Para todo $N$ inteiro positivo (maior que zero) é verdade que

A média aritimética dos $N$ primeiros termos de uma certa sequência é igual a $N$. Sendo $a_{i}$ o termo da posição $i$ da sequência, podemos escrever que

Para todo $N>0$, com $N$ inteiro, temos

$\dfrac{1}{N}\cdot \left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{N} \right )=N\\ \\ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{N}=N^{2}$



Como é verdade para todo $N$ inteiro positivo, e baseando-se na igualdade acima, temos também que

$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{N-1}=\left(N-1 \right)^{2}$


Sendo assim,

$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{N-1}+a_{N}=N^{2}\\ \\ \left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{N-1} \right)+a_{N}=N^{2}\\ \\ \left(N-1 \right )^{2}+a_{N}=N^{2}\\ \\ a_{N}=N^{2}-\left(N-1 \right)^{2}\\ \\ a_{N}=N^{2}-\left(N^{2}-2N+1 \right )\\ \\ a_{N}=\diagup\!\!\!\!\! N^{2}-\diagup\!\!\!\!\! N^{2}+2N-1\\ \\ a_{N}=2N-1$


A última expressão acima é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética de razão $2$.

O $2008^{\circ}$ termo é encontrado, fazendo $N=2\,008$ e substituindo a fórmula do termo geral:


$a_{2\,008}=2\cdot 2\,008-1\\ \\ a_{2\,008}=4\,016-1\\ \\ a_{2\,008}=4\,015$


Resposta: alternativa $\text{B) }4\,015.$