Question

determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao - 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{9}{8}~u.~v~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos determinar o valor da integral tripla da função $f(x,~y,~z)=xyz$, definida sobre a região limitada por $-1\leq x\leq 2,~0\leq y\leq 1$ e $1\leq z\leq 2$.

A integral tripla que devemos calcular é:

$\displaystyle{\iiint_R f(x,~y,~z)\,dV$

Observe que os limites definidos para esta região são todos numéricos. Neste caso, o elemento de volume pode ser reescrito em quaisquer uma das seis ordens possíveis, de acordo com o Teorema de Fubini.

Então, seja $dV=dz\,dy\,dx$. Substituindo a função e os limites numéricos, teremos a integral tripla:

$\displaystyle{\int_{-1}^2\int_0^1\int_1^2xyz\,dz\,dy\,dx$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$, em que $C$ é uma constante real. No caso de integrais definidas, não há a necessidade da adição da constante arbitrária.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

A integral mais interna está definida para a variável $z$. Observe que a função é o produto entre as variáveis, logo tratando $x$ e $y$ como constantes, aplicamos a primeira propriedade.

$\displaystyle{\int_{-1}^2\int_0^1xy\int_1^2z\,dz\,dy\,dx$

Então, aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_{-1}^2\int_0^1xy\cdot\dfrac{z^2}{2}~\biggr|_1^2\,dy\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-1}^2\int_0^1xy\cdot\left(\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}\right)\,dy\,dx$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{\int_{-1}^2\int_0^1xy\cdot\left(2-\dfrac{1}{2}\right)\,dy\,dx}\\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^2\int_0^1xy\cdot\dfrac{3}{2}\,dy\,dx$

Agora, calcule a segunda integral. Ela está definida para a variável $y$. Dessa forma, aplicamos novamente a primeira propriedade, tratando $x$ como constante:

$\displaystyle{\int_{-1}^2\dfrac{3}{2}\cdot x\int_0^1y\,dy\,dx$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_{-1}^2\dfrac{3}{2}\cdot x\cdot\dfrac{y^2}{2}~\biggr|_0^1\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-1}^2\dfrac{3}{2}\cdot x\cdot\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)\,dx$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{\int_{-1}^2\dfrac{3}{2}\cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{2}-0\right)\,dx}\\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^2\dfrac{3}{2}\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}\,dx$

Multiplique os valores e aplique a regra da constante: esta última integral está definida para a variável $x$.

$\dfrac{3}{4}\cdot\displaystyle{\int_{-1}^2x\,dx$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_{-1}^2$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{3}{4}\cdot\left(\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{(-1)^2}{2}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{3}{4}\cdot\left(2-\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{2}$

Multiplique as frações

$\dfrac{9}{8}$

Este é o resultado da integral tripla desta função, definida sobre esta região.