Question

Em um colégio, há trinta professores, cinco dos quais lecionam matemática. Para constituir uma comissão de quatro professores, foi estabelecido que pelo menos um professor seria de matemática. Para se obter a quantidade de comissões que podem ser formadas nessas condições, deve-se realizar o seguinte cálculo:

Answer 1

Em um colégio com $30$ professores,

$\bullet\;\;5$ lecionam matemática;
$\bullet\;\;30-5=25$ lecionam outras matérias.


Deseja-se formar uma comissão de exatamente $4$ professores, dos quais, pelo menos $1$ professor é de matemática.


Para realizar esta contagem, devemos trabalhar com combinações simples, pois a ordem de escolha dos professores não é relevante para formar a equipe. Temos estes casos a analisar:


$\bullet\;\;$ Caso 1: a equipe possuirá exatamente $1$ professor de matemática.

De quantas formas diferentes podemos escolher este professor de matemática?
Devemos fazer a combinação dos $5$ professores de matemática disponíveis, tomando apenas $1$ deles, ou seja

$C_{5,\,1}=\dfrac{5!}{1!\cdot \left(5-1 \right )!}\\ \\ C_{5,\,1}=5\text{ possibilidades}$


De quantas formas diferentes podemos escolher os outros $3$ professores de outras matérias para completar a equipe, dentre os $25$ disponíveis?

$C_{25,\,3}=\dfrac{25!}{3!\cdot \left(25-3 \right )!}\\ \\ C_{25,\,3}=\dfrac{25\cdot 24 \cdot 23 \cdot \diagup\!\!\!\!\! 22!}{3!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 22!}\\ \\ C_{25,\,3}=\dfrac{25\cdot 24 \cdot 23}{3\cdot 2 \cdot 1}\\ \\ C_{25,\,3}=2\,300\text{ possibilidades}$


Portanto, o total de possibilidades para formar uma equipe de $4$ professores, onde apenas $1$ é de matemática é

$C_{5,\,1}\cdot C_{25,\,3}\\ \\ =5\cdot 2\,300\\ \\ =11\,500\text{ possibilidades}$


$\bullet\;\;$ Caso 2: a equipe possuirá exatamente $2$ professores de matemática.

De quantas formas diferentes podemos escolher estes $2$ professores de matemática dentre os $5$ disponíveis?

$C_{5,\,2}=\dfrac{5!}{2!\cdot \left(5-2 \right )!}\\ \\ C_{5,\,2}=\dfrac{5\cdot 4 \cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}\\ \\ C_{5,\,2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\\ \\ C_{5,\,2}=10\text{ possibilidades}$


De quantas formas diferentes podemos escolher os outros $2$ professores de outras matérias para completar a equipe, dentre os $25$ disponíveis?

$C_{25,\,2}=\dfrac{25!}{2!\cdot \left(25-2 \right )!}\\ \\ C_{25,\,2}=\dfrac{25\cdot 24 \cdot \diagup\!\!\!\!\! 23!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 23!}\\ \\ C_{25,\,2}=\dfrac{25\cdot 24}{2\cdot 1}\\ \\ C_{25,\,2}=300\text{ possibilidades}$


Portanto, o total de possibilidades para formar uma equipe de $4$ professores, onde apenas $2$ são de matemática é

$C_{5,\,2}\cdot C_{25,\,2}\\ \\ =10\cdot 300\\ \\ =3\,000\text{ possibilidades}$


$\bullet\;\;$ Caso 3: a equipe possuirá exatamente $3$ professores de matemática.

De quantas formas diferentes podemos escolher estes $3$ professores de matemática dentre os $5$ disponíveis?

$C_{5,\,3}=\dfrac{5!}{3!\cdot \left(5-3 \right )!}\\ \\ C_{5,\,3}=\dfrac{5\cdot 4 \cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}{\diagup\!\!\!\!\! 3!\cdot 2!}\\ \\ C_{5,\,3}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\\ \\ C_{5,\,3}=10\text{ possibilidades}$


De quantas formas diferentes podemos escolher um único professor de outra matéria para completar a equipe, dentre os $25$ disponíveis?

$C_{25,\,1}=\dfrac{25!}{1!\cdot \left(25-1 \right )!}\\ \\ C_{25,\,1}=\dfrac{25\cdot \diagup\!\!\!\!\!\! 24!}{1!\cdot \diagup\!\!\!\!\!\! 24!}\\ \\ C_{25,\,1}=25\text{ possibilidades}$


Portanto, o total de possibilidades para formar uma equipe de $4$ professores, onde apenas $3$ são de matemática é

$C_{5,\,3}\cdot C_{25,\,1}\\ \\ =10\cdot 25\\ \\ =250\text{ possibilidades}$


$\bullet\;\;$ Caso 4: todos os $4$ professores da equipe são professores de matemática.

De quantas formas diferentes podemos escolher estes $4$ professores de matemática dentre os $5$ disponíveis?

$C_{5,\,4}=\dfrac{5!}{4!\cdot \left(5-4 \right )!}\\ \\ C_{5,\,4}=\dfrac{5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{\diagup\!\!\!\!\! 4!\cdot 1!}\\ \\ C_{5,\,4}=5\text{ possibilidades}$


Logo, o total de comissões que podem ser formadas é igual à soma das possibilidades de todos os casos:

$11\,500+3\,000+250+5\\ \\ =14\,755\text{ comiss\~{o}es}$