Question

lim (✓x²+3x+1)+ x/2x+3
x--> oo
quando x tende a infinito gente me ajuda

Answer 1

Vamos colocar o fator $x^2$ em evidência dentro da raiz e $x$ em evidência no segundo termo da soma:

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x+1}+\frac{x}{2x+3}\\\\ \lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+\frac{x}{x(2+\frac{3}{x})}$

$x$ aumenta arbitrariamente por valores sempre positivos, então podemos retirar $x^2$ de dentro da raiz sem se preocuparmos com sinais

$\lim_{x \to \infty} (x\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2+\frac{3}{x}})$

Perceba que se $x$ aumenta arbitrariamente então todos os quocientes que o possuem como denominador tenderão a 0

$\lim_{x \to \infty} (x\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2+\frac{3}{x}})\\\\=\infty\sqrt{1+0+0}+\frac{1}{2+0}\\\\=\infty\sqrt{1}+\frac{1}{2}\\\\=\infty$

Portanto,

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x+1}+\frac{x}{2x+3}=\infty$