Question

INTEGRAL

Calcule o volume de y=x²/4, x=2, y=0 em torno de y

A resposta é 2π, mas não consigo chegar nela ​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{2\pi~u.~v}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o volume do sólido gerado pela rotação desta curva sobre um dos eixos coordenados, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja uma curva $f(x)$, contínua em um determinado intervalo $[a,~b]$. O volume do sólido gerado pela rotação desta curva sobre um dos eixos pode ser calculada por meio das integrais:

Em torno do eixo $x$:

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_a^b[f(x)]^2\,dx$

Em torno do eixo $y$:

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_{f(a)}^{f(b)}[f(y)]^2\,dy$

Estas integrais podem ser generalizadas para casos onde a curva não está limitada sobre os eixos coordenados.

Então, seja a curva $y=\dfrac{x^2}{4}$, delimitada pela reta vertical $x=2$ e pela reta $y=0$ (veja que esta reta é um dos eixos coordenados). Devemos calcular o volume do sólido gerado pela rotação desta curva em torno do eixo $y$.

Utilizaremos a segunda integral. Para isso, devemos encontrar uma função $x=f(y)$. Observe que ao multiplicarmos ambos os lados da equação por $4$, teremos: $x^2=4y$.

Os limites de integração serão $y=0$, que limita inferiormente a curva e o superior é calculado ao substituir $x=2$ na equação da curva:

$2^2=4y\\\\\\ 4=4y\\\\\\ y=1$

Substituindo estes dados na integral, teremos:

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_0^14y\,dy$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da constante

$V=\displaystyle{4\pi\cdot\int_0^1y\,dy$

Aplique a regra da potencia

$V=4\pi\cdot\dfrac{y^2}{2}~\biggr|_ 0^1$

Aplique os limites de integração

$V=4\pi\cdot\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)$

Calcule as potências, some e multiplique os valores

$V=4\pi\cdot\left(\dfrac{1}{2}-0\right)\\\\\\ V=4\pi\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\\ V=2\pi$

Este é o volume deste sólido.