Question

Encontre o vetor V no espaço sabendo que V é simultaneamente ortogonal a U = (1, 0, 0) e W = (1, 1, 0), ||V || = 10 e o ângulo θ entre V e Z = (0, 0, 1) satisfaz 0 ≤ θ ≤ π/2

Answer 1

Sejam os vetores :

$V = ( i, j ,k)$ , $U=(1,0,0) \ e \ W=(1,1,0)$

Se V é ortogonal a U e W, então o produto interno entre eles da 0.  

então :

$<V,U> \to i.1+j.0+k.0 = 0$  Então : i = 0

$<V,W> \to i.1+j.1+k.0 = 0 \to i = -j$ Então: j = 0

Para achar K, vamos usar a informação do enunciado. ||V|| = 10.

$|V| = \sqrt{i^2+j^2+k^2 } \to \sqrt{0^2+0^2+k^2} = 10$ Então : K = $\pm$10

Para saber se o K é positivo ou negativo, vamos usar a ultima informação do enunciado, que é:

o ângulo $\theta$ entre V e Z = (0,0,1) satisfaz $\displaystyle 0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}$. ( 1º quadrante )

Vamos fazer o produto interno entre eles.

$<V,Z> = |V|.|Z|.Cos(\theta)$

$0.0+0.0+\pm10.1 = 10.1.Cos(\theta)$

$Cos(\theta) = \pm 1$

$\displaystyle \theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$ Se o ângulo está no 1º quadrante, então o valor tem que ser positivo, então :

$Cos(\theta) = 1 \to \theta = 0^{\circ}$ ( satisfaz o intervalo )

Portanto, K = 10

Então o vetor V é :

$\huge\boxed{V = (0,0,10) }$