Question

1) Os números x, x+1 e x+4, nessa ordem, constituem uma progressão geométrica, a razão da P.G é igual a:
a) 0
b) 1
c)2
d)3
e)4

2) Determine a soma dos infinitos termos de uma P.G de primeiro termo igual a 5 e razão $\frac{1}{2}$

3) em uma sequência de 8 números, a1, a2,...,a7, a8, os 5 primeiros termos formam uma P.A de primeiro termo 1; os três últimos formam uma P.G de primeiro termo 2
Sabendo que a5=a6 e a4=a7:
a) Determine as razões da P.A e da P.G
b) Escrevaos oito termos dessa sequência

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) Em uma $\sf PG(a_1,a_2,a_3)$, temos:

$\sf (a_2)^2=a_1\cdot a_3$

Assim:

$\sf (x+1)^2=x\cdot(x+4)$

$\sf x^2+2x+1=x^2+4x$

$\sf x^2+4x=x^2+2x+1$

$\sf x^2-x^2+4x-2x=1$

$\sf 2x=1$

$\sf \red{x=\dfrac{1}{2}}$

Assim:

• $\sf a_1=x$

$\sf \red{a_1=\dfrac{1}{2}}$

• $\sf a_2=x+1$

$\sf a_2=\dfrac{1}{2}+1$

$\sf a_2=\dfrac{1+2}{2}$

$\sf \red{a_2=\dfrac{3}{2}}$

• $\sf a_3=x+4$

$\sf a_3=\dfrac{1}{2}+4$

$\sf a_3=\dfrac{1+8}{2}$

$\sf \red{a_2=\dfrac{9}{2}}$

=> $\sf \red{PG\Big(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{2}\Big)}$

A razão dessa PG é:

$\sf q=\dfrac{a_2}{a_1}$

$\sf q=\dfrac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}$

$\sf q=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{1}$

$\sf q=\dfrac{6}{2}$

$\sf \red{q=3}$

Letra D

2)

A soma dos termos de umq PG infinita é dada por:

$\sf S=\dfrac{a_1}{1-q}$

Assim:

$\sf S=\dfrac{5}{1-\frac{1}{2}}$

$\sf S=\dfrac{5}{\frac{2-1}{2}}$

$\sf S=\dfrac{5}{\frac{1}{2}}$

$\sf S=\dfrac{5}{1}\cdot\dfrac{2}{1}$

$\sf \red{S=10}$

3)

Sejam $\sf r$ a razão da PA e $\sf q$ a razão da PG

Utilizando a fórmula do termo geral:

• a4 e a5

$\sf a_4=a_1+3r~\Rightarrow~a_4=1+3r$

$\sf a_5=a_1+4r~\Rightarrow~a_5=1+4r$

• a6 e a7

$\sf a_6=2$

$\sf a_7=a_6\cdot q~\Rightarrow~a_7=2q$

Temos:

=> a5 = a6

$\sf 1+4r=2$

$\sf 4r=2-1$

$\sf 4r=1$

$\sf \red{r=\dfrac{1}{4}}$

=> a4 = a7:

$\sf 1+3r=2q$

$\sf 1+3\cdot\dfrac{1}{4}=2q$

$\sf 1+\dfrac{3}{4}=2q$

$\sf \dfrac{4+3}{4}=2q$

$\sf \dfrac{7}{4}=2q$

$\sf q=\dfrac{\frac{7}{4}}{2}$

$\sf q=\dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{1}{2}$

$\sf \red{q=\dfrac{7}{8}}$

b)

=> os 5 primeiros termos

• $\sf \red{a_1=1}$

• $\sf a_2=a_1+r$

$\sf a_2=1+\dfrac{1}{4}$

$\sf a_2=\dfrac{4+1}{4}$

$\sf \red{a_2=\dfrac{5}{4}}$

• $\sf a_3=a_2+r$

$\sf a_3=\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4}$

$\sf a_3=\dfrac{5+1}{4}$

$\sf a_3=\dfrac{6}{4}$

$\sf \red{a_3=\dfrac{3}{2}}$

• $\sf a_4=a_3+r$

$\sf a_4=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}$

$\sf a_4=\dfrac{6+1}{4}$

$\sf a_4=\dfrac{7}{4}$

$\sf \red{a_4=\dfrac{7}{4}}$

• $\sf a_5=a_4+r$

$\sf a_5=\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}$

$\sf a_5=\dfrac{7+1}{4}$

$\sf a_5=\dfrac{8}{4}$

$\sf \red{a_5=2}$

=> os três últimos

• $\sf \red{a_6=2}$

• $\sf a_7=a_6\cdot q$

$\sf a_7=2\cdot\dfrac{7}{8}$

$\sf a_7=\dfrac{14}{8}$

$\sf \red{a_7=\dfrac{7}{4}}$

• $\sf a_8=a_7\cdot q$

$\sf a_8=\dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{7}{8}$

$\sf \red{a_8=\dfrac{49}{32}}$

A sequência é:

$\sf \red{\Big(1,~\dfrac{5}{4},~\dfrac{3}{2},~\dfrac{7}{4},~2,~2,~\dfrac{7}{4},~\dfrac{49}{32}\Big)}$