Question

Como calcular ∫ dx/x²√a²-x²

Answer 1

$\int{\dfrac{dx}{x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}$


Façamos a seguinte substituição:

$\theta=\mathrm{arcsen}\left(\dfrac{x}{a} \right )\;\;\Rightarrow\;\;x=a\mathrm{\,sen\,}\theta\\ \\ dx=a\cos \theta\,d \theta\\ \\ \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\mathrm{sen^{2}\,}\theta}\\ \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}\left(1-\mathrm{sen^{2}\,}\theta\right)}\\ \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}\\ \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\left|\cos \theta\right|$


Como $\theta=\mathrm{arcsen}\left(\dfrac{x}{a} \right)$, então $-\dfrac{\pi}{2}\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$. E o cosseno neste intervalo nunca é negativo. Portanto, o módulo do cosseno é igual ao próprio cosseno.

$\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a \cos \theta$


Substituindo na integral, temos

$\int{\dfrac{dx}{x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{a\cos \theta\,d \theta}{\left(a\mathrm{\,sen\,}\theta \right )^{2}\cdot \left(a\cos \theta \right )}}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{d \theta}{a^{2}\mathrm{\,sen^{2}\,}\theta}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a^{2}}\int{\mathrm{cossec^{2}\,}\theta\,d \theta}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a^{2}}\cdot \left(-\mathrm{cotg\,}\theta \right )+C\\ \\ \\ =-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot \mathrm{cotg\,} \theta+C$


Das relações de substituição, podemos verificar que

$a \cos \theta=\sqrt{a^{2}-x^{2}}\\ \\ a \mathrm{\,sen\,}\theta=x$


Dividindo as duas igualdades acima, temos

$\dfrac{\diagup\!\!\!\! a \cos \theta}{\diagup\!\!\!\! a\mathrm{\,sen\,}\theta}=\dfrac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}\\ \\ \mathrm{cotg\,}\theta=\dfrac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}$


Logo, voltando à integral, finalmente chegamos a

$\int{\dfrac{dx}{x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot \mathrm{cotg\,} \theta+C\\ \\ \\ \boxed{\int{\dfrac{dx}{x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}+C }$