Respostas
Resposta:
Temos que esta função de segundo grau -2x² - 40x - 50 estabelece uma relação de x (número de vendas) com y (lucro em função das vendas) e que no plano cartesiano teremos uma parábola, de concavidade voltada para baixo, que passa pelo eixo x em x = -5(2 + √3) e x = 5(-2 + √3), que passa pelo eixo y em y = -50 e que tem seu ponto de máxima em (-20, 150).
Portanto
a) O número de unidades vendidas é igual a x que não foi definido no enunciado;
b) Segundo o gráfico a empresa não terá nenhum lucro (tendo em vista que não tem nenhum valor onde x e y sejam maiores que zero).
Explicação passo-a-passo:
Mas afinal, o que são as raízes de uma função polinomial de segundo grau? O que raios é uma equação polinomial de grau n? Polinômio vêm de poli (muitos) + nômio (monômio). Um monômio é um termo algébrico dado por
a * x^n tal que {a;x∈R} e {n∈N}
[lê-se "a multiplicado por x elevado à n tal que 'a' e 'x' pertencem ao conjuntos dos reais e 'n' pertence ao conjunto dos Naturais"]
DEVEMOS PRESTAR ATENÇÃO A ISTO PARA SABER SE UM TERMO É OU NÃO UM MONÔMIO. Por exemplo: a*√x³ é um monômio? Não, pois a * x√3 = a * x^(3/2) e {3/2∉N}.
Importante ressaltar que x^n nesta expressão está representando todas as possíveis potências de variáveis definidas nos Reais e expoentes definidos nos Naturais multiplicando este termo. Por exemplo
a * x^n * y^m * z^p é um monômio contanto que {a;x;y;z∈R} e {n;m;p∈N}
O grau de um monômio é o dado pelo maior expoente de uma variável presente no monômio.
Portanto uma equação polinomial de grau n é dada como uma associação dos monômios até o grau n
α*xº + β*x¹ + γ*x² + δ*x³ + ε*x^4 + … + φ*x^n
Dizemos que uma equação polinomial é de grau 0 quando seu único termo é a*xº;
Dizemos que uma equação polinomial é de grau 1 quando seus dois termos são b*xº + a*x¹;
Chamamos de função polinomial de grau 2 uma f(x) que o maior monômio tenha grau 2. Sendo de grau dois (f(x) = ax² + bx + c) teremos graficamente uma parábola que
. tem concavidade voltada para cima caso a > 0 e para baixo caso a < 0;
. que intercepta o eixo das ordenadas (y) em F(0)
. que passa pelo eixo das ordenadas (y) em c e que passará (ou não) pelo eixo das abscissas (x), ou seja, que terá (ou não) raiz(es), a depender do valor de
b² - 4*a*c
que chamamos de Δ [lê-se delta]. Esta manipulação algébrica é conhecida como Fórmula de Bháskara. Este valor Δ pode nos dizer 3 coisas:
Δ > 0 nos diz que o polinômio tem duas raízes reais
Δ = 0 nos diz que o polinômio tem somente uma raiz real
Δ < 0 nos diz que o polinômio não tem nenhuma raiz real
Temos que o parábola terá um ponto Pm = (xm,ym) mínimo de y caso a > 0 ou um valor máximo de y caso a < 0 tais que Pm = (-b/2a, -Δ/4a).
Com o valor de Δ em mãos podemos então encontrar o valor de nossa(s) raiz(es) através da equação
x = (-b ± √Δ) / (2 * a)
Ou seja
x1 = (-b + √Δ) / (2 * a)
x2 = (-b - √Δ) / (2 * a)
Sendo x1 ≥ x2.
Curiosidade: só no Brasil chamamos este método de Fórmula de Bháskara, no resto do mundo é só Método para encontrar as raízes de uma equação de segundo grau mesmo. Nem sequer foi o matemático Bháskara, que viveu no século 12, quem inventou o método. Este já existia antes dele e tem sido aprimorado ao longo dos milênios por diversas culturas.
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Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦
