Question

2) Ache a equação da circunferência de centro (0, 8) e tangente externamente à circunferência de
equação (x – 5)2 + (y + 4)2 = 49.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que a equação da circunferência é escrita da seguinte forma:

$(x-x_{c} )^{2} +(y-y_{c} )^{2} =r^{2}$

Temos que a circunferência 1(λ$_{1}$) tem centro (0, 8) e que é tangente externamente por uma circunferência 2(λ$_{2}$) com equação $(x -5)^{2} + (y + 4)^{2} = 49$ , ou seja, centro (5, -4) e raio 7.

Calculando o raio de λ$_{1}$:

Sabemos que as circunferência são tangentes, logo a soma dos seus raios é igual a distância entre os seus centros:

$r_{1} +r_{2}=d\\\\r_{1} +7=\sqrt{(x_{1} -x_{2} )^{2}+(y_{1} -y_{2} )^{2} }\\\\r_{1} +7=\sqrt{(0-5 )^{2}+(8 -(-4) )^{2} }\\\\r_{1} +7=\sqrt{(-5)^{2} +12^{2}}\\\\r_{1} +7=\sqrt{25+144 }\\\\r_{1} +7=\sqrt{169 }\\\\r_{1} +7=13\\\\r_{1}=6$

Temos que   λ$_{1}$ tem o centro em (0, 8) e raio 6.

$(x-x_{c} )^{2} +(y-y_{c} )^{2} =r^{2}\\\\(x-0 )^{2} +(y-8 )^{2} =6^{2}\\\\x^{2} +(y-8 )^{2} =36$

Answer 2

Circunferências :

$x^2+(y-8)^2=R^2$

$(x-5)^2+(y+4)^2 =7^2$

Se elas são tangentes então a distância entre os seus centros vale R+7  

Então para achar de R basta fazer distância entre centros das circunferências e igualar a 7+R.

centros : $(0,8) \ e \ (5,-4)$

distância entre os dois centros igual 7+R :

$\sqrt{(5-0)^2+(-4-8)^2}=7+R$

$\sqrt{25+144}=7+R$

$\sqrt{169} = 7+R$

$13 = 7+R$

portanto :

$R = 6$

equação da circunferência pedida :

$\huge\boxed{x^2+(y-8)^2=36 }$