Question

Calcule o valor da expressão:
cossec a - sen a/sec a - cos a,
sabendo que cos a = 1/2, com 0 < a < Pi/2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=> Seno

Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~a+cos^2~a=1$

$\sf sen^2~a+\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=1$

$\sf sen^2~a+\dfrac{1}{4}=1$

$\sf sen^2~a=1-\dfrac{1}{4}$

$\sf sen^2~a=\dfrac{4-1}{4}$

$\sf sen^2~a=\dfrac{3}{4}$

Como esse ângulo pertence ao primeiro quadrante, seu seno é positivo

$\sf sen~a=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

$\sf \red{sen~a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Assim:

=> Cossecante

$\sf cossec~a=\dfrac{1}{sen~a}$

$\sf cossec~a=\dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sf cossec~a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$\sf cossec~a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\sf \red{cossec~a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}$

=> Secante

$\sf sec~a=\dfrac{1}{cos~a}$

$\sf sec~a=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}$

$\sf \red{sec~a=2}$

=> Expressão

$\sf E=\dfrac{cossec~a-sen~a}{sec~a-cos~a}$

$\sf E=\dfrac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}}$

$\sf E=\dfrac{\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{6}}{\frac{4-1}{2}}$

$\sf E=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{3}{2}}$

$\sf E=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\cdot\dfrac{2}{3}$

$\sf E=\dfrac{2\sqrt{3}}{18}$

$\sf \red{E=\dfrac{\sqrt{3}}{9}}$