Question

QUAL O RESULTADO DE X E Y? POSTANDO NOVAMENTE, É URGENTE!

Answer 1

Resposta:

$x=\dfrac{4}{9} ~~~~~e~~~~~~y=\dfrac{2}{3}$

Olá!

$log_{y}x=2$

Sabemos que  $27^{x} =9^{y}$  , logo, colocando 27  e 9 na mesma base usando fatoração, temos que:

$(3^{3})^{x} =(3^{2})^{y} \\ \\ 3^{3x} =3^{2y}$

3x = 2y , e assim:

$y=\dfrac{3x}{2}$   .

$log_{\left(\dfrac{3x}{2} \right)} x=2\\ \\ \\\\ x=\left(\dfrac{3x}{2} \right)^{2}\\ \\ \\\\ x=\dfrac{9x^{2}}{4}\\ \\ \\ \\ \dfrac{9x^{2}}{4}-x=0~~~~~~~~~~~~->~~~~~~~~x*\left(\dfrac{9x}{4}-1 \right)=0\\ \\ \\\\ Portanto ~~x'=0~~~e~~~x''=\dfrac{4}{9}$

x = 0   neste caso é descartado, por x é o logaritmando. Então temos que:

$x''=\dfrac{4}{9}$

 

Como  $y=\dfrac{3x}{2}~~~~~~~e~~~x=\dfrac{4}{9}$     , temos:

$y=\dfrac{3}{2} *\dfrac{4}{9} \\ \\ \\\\ y=\dfrac{12}{18} \\ \\ \\ \\ y=\dfrac{2}{3}$

Os valores de x e y são:

$x=\dfrac{4}{9} ~~~~~e~~~~~~y=\dfrac{2}{3}$

:)

 

Answer 2

Oie, Td Bom?!

$\begin{cases} log_{y}(x) = 2\\ 27 {}^{x} = 9 {}^{y} \end{cases}$

$\begin{cases} x = y {}^{2} \\ 3 {}^{3x} = 3 {}^{2y} \end{cases}$

• Bases iguais, iguale os expoentes.

$\begin{cases} x = y {}^{2} \\3x = 2y \end{cases}$

$\begin{cases} x - y {}^{2} = 0 \\3x - 2y = 0 \end{cases}$

• Multiplique os membros da primeira equação por - 3.

$\begin{cases} - 3x + 3y {}^{2} = 0 \\3x - 2y = 0 \end{cases}$

• Some as equações verticalmente para eliminar pelo menos uma variável.

$3y {}^{2} - 2y = 0$

$y \: . \: (3y - 2) = 0$

• $y = 0$

• $3y - 2 = 0⇒y = \frac{2}{3}$

• Substitua os valores dados de y na equação 3x - 2y = 0.

• Para $y = 0$ .

$3x - 2y = 0$

$3x - 2 \: . \: 0 = 0$

$3x - 0 = 0$

$3x = 0$

$x = \frac{0}{3}$

$x = 0$

• Para $y = \frac{2}{3}$ .

$3x - 2y = 0$

$3x - 2 \: . \: \frac{2}{3} = 0$

$3x - \frac{4}{3} = 0$

$3x = \frac{4}{3}$

$x = \frac{4}{3} \div 3$

$x = \frac{4}{3} \: . \: \frac{1}{3}$

$x = \frac{4}{9}$

• Assim, formaremos dois pares ordenados:

$\begin{Bmatrix}(x_{1} \: ,\: y_{1}) = (0 \: ,\: 0)   \\ (x _{2} \:, \: y _{2}) = ( \frac{4}{9} \: , \: \frac{2}{3} )\end{Bmatrix}$

• Iremos agora verificar se os pares ordenados são as soluções do sistema.

I.

• Para $y$ e $x$$= 0$ .

$\begin{cases} log_{0}(0) = 2\\ 27 {}^{0} = 9 {}^{0} \end{cases}$

• $log_{0}(0) = 2$

$=$ Indefinido

• Um logaritmo com base 0 não existe no intervalo dos Números Reais.

• $27 {}^{0} = 9 {}^{0}$

$1 = 1$

• Qualquer expressão não nula elevada à potência de 0 é igual a 1.

II.

• Para $x = \frac{4}{9}$ e $y = \frac{2}{3}$ .

$\begin{cases} log_{ \frac{2}{3} }( \frac{4 }{9} ) = 2\\ 27 {}^{ \frac{4}{9} } = 9 {}^{ \frac{2}{3} } \end{cases}$

• $log_{ \frac{2}{3} }( \frac{4}{9} ) = 2$

$log_{ \frac{2}{3} }( \frac{2 {}^{2} }{3 {}^{2} } ) = 2$

$log_{ \frac{2}{3} }(( \frac{2}{3} ) {}^{2} ) = 2$

$2 log_{ \frac{2}{3} }( \frac{2}{3} ) = 2$

$2 \: . \: 1 = 2$

$2 = 2$

• $27 {}^{ \frac{4}{9} } = 9 {}^{ \frac{2}{3} }$

$(3 {}^{3} ) {}^{ \frac{4}{9} } = (3 {}^{2} ) {}^{ \frac{2}{3} }$

$3 {}^{ \frac{4}{3} } = 3 {}^{ \frac{4}{3} }$

• Bases iguais, iguale os expoentes.

$\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

• Com isso, os sistemas ficará dessa forma:

$\begin{cases} Indefinido\\1 = 1 \end{cases}$

• Dado que pelo menos um dos termos é indefinido, o par ordenado não é a solução do sistema.

$\begin{cases}2 = 2\\ \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \end{cases}$

• O par ordenado é a solução do sistema de equações já que ambas as equações forem verdadeiras.

• Então teremos como solução:

$S = \begin{Bmatrix}(x \: ,\: y) = ( \frac{4}{9} \: ,\: \frac{2}{3} )\end{Bmatrix}$

Att. Makaveli1996