Question

Se um triângulo equilátero e um hexágono possuírem o mesmo perímetro, qual dos dois terá a maior área? Apresente as relações que provem a sua determinação

Answer 1

Boa tarde Larissa!!

O perímetro é a soma de todos os lados de um polígono. Chamaremos o lado do triângulo equilátero de l e o lado do hexágono de x. Observe a figura 1 em anexo: como os perímetros dos dois são iguais, temos:

3l = 6x

l = 6x/3

l = 2x

Daqui, vemos que o lado do triângulo vale o dobro do lado do hexágono.

A área do triângulo equilátero é:

$A =\frac{l^{2.\sqrt{3} } }{4}$

Sendo l = 2x:

$A = \frac{(2x)^{2}\sqrt{3} }{4}$

$A = \frac{4x^{2} \sqrt{3} }{4}$

A = x²√3

O hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros (ver figura 2 em anexo), então, a área do hexágono é:

$A = 6. \frac{l^{2}\sqrt{3} }{4}$

Simplificando:

$A = \frac{3l^{2}\sqrt{3} }{2}$

Sendo o lado do hexágono igual a x fica:

$A = \frac{3x^{2}\sqrt{3} }{2}$

A = 1,5x²√3

Como 1,5x²√3 > x²√3, podemos concluir que a área do hexágono é maior do que a área do triângulo equilátero.

Espero ter ajudado :)