Question

Quql é o resto da divisao do número (3^2015 + 4^2015)^2015 +2015^2015 por 7?

Answer 1

Qual o resto da divisão do número $\left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015}$ por $7$?

Existe um pequeno teorema que diz que, se $a$ é um número inteiro, $p$ é primo e

$\mathrm{mdc}(a,\,p)=1$

então a divisão $a^{p-1}\div p$ tem resto $1$.


Representamos matematicamente assim

$a^{p-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}p \right )$


No nosso caso, temos que o número primo em questão é

$p=7$


Vamos por partes:

$\bullet\;\;$ Parte 1: Qual o resto da divisão de $3^{2\,015}$ por $7$?

Sabemos que $\mathrm{mdc}\left(3,\,7 \right )=1$. Logo, podemos aplicar o teorema para $a=3$ e $p=7$:

$3^{7-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{6} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(3^{6} \right )^{335} \equiv 1^{335}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{6\,\cdot\,335} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,010} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,010}\cdot 3^{5} \equiv 1\cdot 3^{5}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,010+5} \equiv 243\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015} \equiv 243\left(\mathrm{mod\,}7 \right )$

Mas,

$243=34\cdot 7+5$

Então,

$3^{2\,015} \equiv 243 \equiv 5\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015} \equiv 5\left(\mathrm{mod\,}7 \right )$

ou seja, o resto de $3^{2\,015} \div 7$ é $5$.


$\bullet\;\;$ Parte 2: Qual o resto da divisão de $4^{2\,015}$ por $7$?

Sabemos que $\mathrm{mdc}\left(4,\,7 \right )=1$. Logo, podemos aplicar o teorema novamente para $a=4$ e $p=7$:

$4^{7-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{6} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(4^{6} \right )^{335} \equiv 1^{335}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{6\,\cdot\, 335}\equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,010} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,010}\cdot 4^{5} \equiv1\cdot 4^{5}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,010+5} \equiv 1\,024\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,015}\equiv 1\,024\left(\mathrm{mod\,}7 \right )$

Mas,

$1\,024=146\cdot 7+2$

Então,

$4^{2\,015}\equiv 1\,024 \equiv 2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,015}\equiv 2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )$

ou seja, o resto de $4^{2\,015}\div 7$ é $2$.


$\bullet\;\;$ Parte 3: Qual o resto da divisão de $2\,015^{2\,015}$ por $7$?

Novamente, temos que $\mathrm{mdc}\left(2\,015,\,7 \right )=1$. Logo, podemos aplicar o teorema novamente para $a=2\,015$ e $p=7$:

$2\,015^{7-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{6} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(2\,015^{6} \right )^{335} \equiv 1^{335}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{6\,\cdot\,335} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,010} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\;\;\;\;\;(i)$

Mas temos que

$2\,015=287\cdot 7+6$

e portanto,

$2\,015 \equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{5} \equiv 6^{5}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{5} \equiv 7\,776\left(\mathrm{mod\,}7 \right )$


E temos ainda que

$7\,776=1\,110\cdot 7+6$

Logo,

$2\,015^{5} \equiv 7\,776\equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{5} \equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\;\;\;\;\;(ii)$


Multiplicando $(i)$ com $(ii)$, temos

$2\,015^{2\,010} \cdot 2\,015^{5} \equiv 1\cdot 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,010+5} \equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,015}\equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )$

ou seja, o resto de $2\,015^{2\,015}\div 7$ é $6$.


$\bullet\;\;$ Parte 4: Combinando os resultados das partes 1, 2 e 3, temos:

$\left\{ \begin{array}{ccr} 3^{2\,015}&\equiv& 5\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,015}&\equiv& 2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,015}&\equiv& 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right ) \end{array}\right.$


Somando as duas primeiras sentenças, temos

$3^{2\,015}+4^{2\,015} \equiv 5+2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015}+4^{2\,015} \equiv 7\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015}+4^{2\,015} \equiv 0\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}\equiv 0^{2\,015}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}\equiv 0\left(\mathrm{mod\,}7 \right )$


Somando a terceira sentença, finalmente chegamos a

$\left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015}\equiv 0+6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \boxed{\left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015}\equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )}$


O resto da divisão de $\left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015}$ por $7$ é $6$.

Answer 2

Resposta:

não sei não faço ideia 1122425363783

Explicação passo a passo: