Question

As circunferências de equação
x^2 + y^2 – 4x + 8y – 16 = 0 e x^2 + y^2 – 16x – 8y + 64 = 0 são:

a) secantes.
b) tangentes externas.
c) tangentes internas.
d) exteriores, sem ponto comum.
e) interiores, sem ponto comum.

Me ajudaaaaaaaaaaaaaa

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades de geometria analítica e posições relativas entre circunferências.

Sejam as circunferências de equação $x^2+y^2-4x+8y-16=0$ e $x^2+y^2-16x-8y+64=0$.

Para determinarmos a posição relativa entre elas, devemos determinar as coordenadas de seus centros e a medida de seus raios. Utilizaremos o método de completar quadrados:

Em cada uma das equações, localizamos os termos de grau $1$ e dividimos seu coeficiente por $2$. Adicionamos o quadrado deste número em ambos os lados das equações:

$x^2+y^2-4x+8y-16+\bold{4+16=4+16}\\\\\\ x^2+y^2-16x-8y+64+\bold{64+16=64+16}$

Reorganizamos os termos

$x^2-4x+4+y^2+8y+16-16=4+16\\\\\\ x^2-16x+64+y^2-8y+16+64=64+16$

Fatoramos as expressões ao lado esquerdo das equações e somamos os valores

$(x-2)^2+(y+4)^2-16=20\\\\\\ (x-8)^2+(y-4)^2+64=80$

Some $16$ em ambos os lados da primeira equação e subtraia $64$ em ambos os lados da segunda equação

$(x-2)^2+(y+4)^2=36\\\\\\ (x-8)^2+(y-4)^2=16$

Estas são as equações reduzidas destas circunferências. Ao compararmos estas equações à forma: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, encontraremos as coordenadas dos centros e a medida do raio de cada uma delas:

$(x-2)^2+(y+4)^2=36\Rightarrow \bold{C\,(2,\,-4)~e~r=6}\\\\\\ (x-8)^2+(y-4)^2=16\Rightarrow\bold{C\,(8,~4)~e~r=4}$

Então, devemos calcular a distância entre seus centros e compararmos estas medidas aos seus raios. Esta relação entre distância e raio pode resultar nos casos em que:

• $d=r_1+r_2$, as circunferências serão tangentes externas.
• $d=r_1-r_2$, as circunferências serão tangentes internas.
• $d>r_1+r_2$, as circunferências serão exteriores.
• $d<r_1-r_2$, as circunferências serão interiores.
• $r_1-r_2<d<r_1+r_2$, as circunferências serão secantes.

Dadas as coordenadas $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ dos centros, utilizamos a fórmula $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ para encontrarmos a distância entre eles:

$d=\sqrt{(2-8)^2+(-4-4)^2}$

Some os valores

$d=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}$

Calcule as potências, some os valores e calcule o radical

$d=\sqrt{36+64}\\\\\\ d=\sqrt{100}\\\\\\ d=10$

Para efeito de cálculo, saibamos que: $\begin{cases}r_1+r_2=10\\r_1-r_2=2\\\end{cases}$

Observa-se que a distância entre os centros destas circunferências é igual a soma da medida de seus raios, logo as circunferências são tangentes externas, resposta contida na letra b).