Question

A figura mostra um círculo de raio 1 inscrito na parábola y = x². Encontre o centro do círculo.
OBS: A figura está anexada. Caso dê algum problema para abri-la, tem-se a parábola com o círculo de raio 1, com centro no eixo y

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Answer 1

Toma aí unifei, e boa sorte na prova sábado:

A figura mostra um círculo que tem centro C = (0, b), ou seja, só precisamos descobrir o valor de b pois já sabemos o valor de a (a = 0).
 Assim, o círculo, de raio R = 1, tem equação: x² + (y – b)² = 1
Isolando o y, temos:
(y – b)² = 1 – x²
(y – b) = ±√(1 – x²)
y = b ±√(1 – x²)

O que queremos saber é em que ponto a derivada da equação do círculo é igual a da parábola para que descubramos um ponto sobre o círculo e assim descubramos seu centro, mais precisamente, descobriremos b. Assim, a derivada dessa equação do círculo em relação a x é:

dy/dx = http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%28\pm%28\frac{-x}{\sqrt{1%20-%20x^2}}%29

e  a derivada da parábola é: 2x

Iguale as duas equações da derivada, e vai chegar em x^2 = 3/4.

Substituindo x^2=3/4 em x^2 + (y-b)^2 = 1:
3/4 + (3/4 - b)^2 = 1

Vai chegar em b = 5/4.

Então o centro será C = (0, 5/4)