Question

Observe o diálogo.
Menina > Fábio, vamos ver se você sabe essa! Para quais valores inteiros de K a expressão (-15) ^ -2k é negativa?

Menino > Para qualquer número ímpar!

....

A. Agora, responda: você concorda com a resposta de Fábio ? Justifique sua resposta

Answer 1

Simplificando a expressão,

$(-15)^{-2k}$

$(-\frac{1}{15})^{2k}$

$((-\frac{1}{15})^{2})^{k}$

$(\frac{1}{225})^{k}$

O menino diz que a expressão resultará um valor negativo para todo k ímpar. Então, se testarmos com 1 valor ímpar, a afirmativa será falsa.

se k = 3, $(\frac{1}{225})^{3}$ = $(\frac{1}{225})^{3}$ $\frac{1}{11390625}$

Por isso a declaração do menino é falsa.

[SOLUÇÃO ALTERNATIVA]

Considerando k um número ímpar qualquer. Em uma multiplicação de um número ímpar por um número par, o resultado sempre é um número par. Portanto, a expressão -2k resultaria em um valor par, e qualquer número elevado a um número par resulta em um número positivo.

Answer 2

(-15)^-2k < 0

Como a base é negativa, se o expoente for par ⇒ resultado positivo
Como a base é negativa, se o expoente for ímpar ⇒resultado negativo

Interessa somente então quando o expoente for ímpar para que o resultado seja menor que zero, ou seja, negativo.

Como o expoente está sendo multiplicado por -2, ele nunca será negativo. Por exemplo:
k = -2 ⇒ -2.-2 = 4
k = -1 ⇒ -2.-1 = 2
k = 0 ⇒ -2.0 = 0
k = 1 ⇒ -2.1 = -2
k = 2 ⇒ -2.2 = -4

Portanto, a expressão nunca dará um valor negativo.

Espero ter ajudado.