Question

Utilizando operações envolvendo congruências, determine (justificando a sua resposta) qual é o algarismo das unidades do número $3^{180}$?

Answer 1

Veja a regularidade:

$3^0=1\\ 3^1=3\\ 3^2=9\\ 3^3=27\\ 3^4=81\\ 3^5=243\\ 3^6=729\\ 3^7=2187\\ 3^8=6561...$

Veja que a unidade de todas as potências de 3 se repetem ciclicamente em:

1,3,9,7,1,3,9,7...

Então dividimos 180 por 4 e observamos o resto. Ora, 180 é múltiplo de 4, logo o resto da divisão é 0.

Veja que todas as potências de 3 com expoente múltiplo de 4 (que não deixa resto) termina com a unidade. Logo o algarismo das unidades da potência 3 elevado a 180  é 1