Question

c) Calcule o módulo ou argumento dos números complexos abaixo

z=3+4i

z= -2-2i​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcularmos o módulo e o argumento de um número complexo, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Dado um número complexo na forma algébrica $z=a+bi$, podemos determinar seu módulo utilizando a fórmula $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ e seu argumento utilizando a fórmula $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$.

Então, sejam os números complexos:

$z_1=3+4i\\\\\\ z_2=-2-2i$

Primeiro, aplicamos as fórmulas em $z_1$:

$|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}\\\\\\ \theta_1=\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)$

Calcule as potências, some os valores e calcule o radical. Utilizando a tabela dos ângulos, deduz-se a medida do ângulo em graus:

$|z_1|=\sqrt{9+16}\Rightarrow |z_1|=\sqrt{25}\Rightarrow|z_1|=5\\\\\\ \theta_1=\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)\Rightarrow\theta_1\approx 53.1\°$

Fazemos o mesmo para o número complexo $z_2$

$|z_2|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}\\\\\\ \theta_2=\arctan\left(\dfrac{-2}{-2}\right)$

Calcule as potências, some os valores e calcule o radical. Utilizando a tabela dos ângulos, deduz-se a medida do ângulo em graus (aqui, observe que o número pertence ao terceiro quadrante do plano complexo)

$|z_2|=\sqrt{4+4}\Rightarrow |z_2|=\sqrt{8}\Rightarrow|z_2|=2\sqrt{2}\\\\\\ \theta_2=\arctan(1)\Rightarrow\theta_2=225\°$

Estes são os módulos e os argumentos de cada um destes números complexos.