Question

inequações resposta das questões a seguir?

Answer 1

Aqui temos duas formas de resolver estas inequações. A primeira (e mais complicada) é através de logaritmos, afinal são um recurso matemático que serve justamente para lidar com variáveis no expoente. A segunda (mais fácil e a qual usaremos) é transformarmos os dois lados em potências de mesma base transferindo a inequação apenas para os expoentes (para a nossa sorte é possível fazer isso em todas).

a) $2^{x+7}<32$

$2^{x+7}<2^5$

$x+7<5$

$x<5-7$

$x<-2$

b) $10^{x-3}>1$

$10^{x-3}>10^0$

$x-3>0$

$x>3$

c) $(\frac{1}{2})^{x+1}\geq 4^{x+3}$

$(2^{-1})^{x+1}\geq (2^2)^{x+3}$

$2^{-x-1}\geq 2^{2x+6}$

$-x-1\geq 2x+6$

$-x-2x\geq 6+1$

$-3x\geq 7$

$3x\leq -7$

$x\leq -\frac{7}{3}$

d) Essa parece mais simples, mas vai ser mais difícil de trabalhar, então vou colocar algumas explicações que não precisamos levar em conta nas outras.

$(\frac{1}{3})^{x^2-x}>(\frac{1}{3})^2$

O raciocínio fica invertido quando estamos lidando com potência de números menores que 1 e maiores que 0 (quanto maior a potência menor eles ficam), então vamos deixar tudo em uma base maior ou igual a 1 para não calcularmos um resultado invertido.

$(3^{-1})^{x^2-x}>(3^{-1})^2$

$3^{-x^2+x}>3^{-2}$

$-x^2+x>-2$

$-x^2+x+2>0$

Caímos em uma inequação do segundo grau, observando que o coeficiente "a" é negativo, sabemos que gera uma parábola com concavidade voltada para baixo no gráfico. Neste caso, a expressão será positiva ( maior que 0 ) entre as raízes. Aplicaremos Bhaskara para descobrir as raízes.

$\triangle=1^2-4.(-1).2=1+8=9$

$x_1=\frac{-1+\sqrt{9} }{2.(-1)}=\frac{-1+3}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$

$x_2=\frac{-1-\sqrt{9} }{2.(-1)}=\frac{-1-3}{-2}=\frac{-4}{-2}=2$

Se a expressão é maior que 0 entre as raízes, podemos finalmente afirmar que:

$-1<x<2$