Question

Dada a função f(x) = ∜(sec√x) , calcular f’(x).

Answer 1

Tem-se a seguinte função:

$f(x) = \sqrt[4]{ \sec \sqrt{x} }$

A questão quer saber qual a derivada dessa função, para isso vamos iniciar transformando essa raiz quarta em um expoente:

$f(x) = \sqrt[4]{ \sec \sqrt{x} } \to f(x) = ( \sec \sqrt{x} ) {}^{ \frac{1}{4} }$

Observe que se trata de uma função composta, então será necessário usar a derivação através da regra da cadeia: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}$, vamos dizer que as funções sejam:

$u = ( \sec \sqrt{x} ) \: \: e \: \: f(x) = (u) {}^{ \frac{1}{4} }$

Aplicando essas funções na relação temos que:

$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{du} f(x). \frac{du}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{du} u {}^{ \frac{1}{4} } . \frac{d}{dx}( \sec \sqrt{x} ) \\ \\ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{4} u {}^{ \frac{1}{4} - 1 } . \frac{d}{dx} ( \sec \sqrt{x} ) \\ \\ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{u {}^{ - \frac{3}{4} } }{4} . \frac{d}{dx} ( \sec \sqrt{x} ) \: \: \:$

Temos outra derivada que deve ter uma atenção voltada para ela, pois é também uma função composta, reescrevendo:

$t = \sec \sqrt{x} \to t = \sec \left( \left(x \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right)$

Digamos que as funções sejam:

$u = x {}^{ } \: \:e \: \: t = \sec(u {}^{ \frac{1}{2} } )$

Aplicando na regra da cadeia:

$\frac{dt}{dx} = \frac{dt}{du} . \frac{du}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dt}{dx} = \frac{d}{du} \sec(u). \frac{d}{dx} x {}^{ \frac{1}{2} } \: \: \: \: \\ \\ \frac{dt}{dx} = \sec(u). \tg(u). \frac{1}{2} x {}^{ \frac{1}{2} - 1} \: \: \\ \\ \frac{dt}{dx} = \sec(u). \tg(u). \frac{x {}^{ - \frac{1}{2} } }{2} \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dt}{dx} = \sec(u). \tg(u). \frac{1}{2x {}^{ \frac{1}{2} } } \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dt}{dx} = \frac{ \sec(u). \tg(u)}{2x {}^{ \frac{1}{2} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dt}{dx} = \frac{ \sec \sqrt{x} . \tg \sqrt{x} }{2 \sqrt{x} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo essa derivação na regra da cadeia anterior a esta:

$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{4u {}^{ \frac{3}{4} } } . \frac{ \sec \sqrt{x}. \tg \sqrt{x} }{2 \sqrt{x} } \: \: \\ \\ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{u {}^{3} } } .\frac{ \sec \sqrt{x}. \tg \sqrt{x} }{2 \sqrt{x} }</p><p>$

Repondo a expressão que representa "u":

$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{ \sec \sqrt{x}. \tg \sqrt{x} }{4 \sqrt[4]{( \sec \sqrt{x} ) {}^{3}} .2 \sqrt{x} } \\ \\ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{ \sec(x {}^{ \frac{1}{2} }). (\sec(x {}^{ \frac{1}{2} } )) {}^{ - \frac{3}{4} }. \tg \sqrt{x} }{4.2 \sqrt{x} } \\ \\ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{( \sec(x {}^{ \frac{1}{2} } ) ){}^{ \frac{1}{4} }. \tg \sqrt{x} }{8 \sqrt{x} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{ \sqrt[4]{ \sec \sqrt{x}} . \tg \sqrt{x} }{8 \sqrt{x} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado