Question

determine a integral indefinida de:(3t² + t sobre 2) dt​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{3t {}^{2} + t}{2} dt$

Para resolver vamos começar retirando esse denominador, ou seja, vamos fazer meio que uma fatoração com esse termo (colocar em evidência):

$\int \frac{1}{2}.(3t {}^{2} + t)dt$

Dado que 1/2 é constante em em relação aos outros termos, podemos remover ele da integral, pois como sabemos constantes podem transitar livremente para dentro e fora da integral:

$\int k.f(x)dx = k \int f(x)dx$

Aplicando essa tal propriedade:

$\frac{1}{2} \int (3t {}^{2} + t)dt$

Outra coisa que podemos fazer é lembrar que a integral da soma de funções é igual a soma das integrais:

$\int (f(x) \pm g(x)) dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Aplicando essa outra propriedade:

$\frac{1}{2} . \left( \int 3t {}^{2}dt + \int t \: dt\right)$Por fim devemos usar mais uma propriedade que é chamada de regra da potência:

$\int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + k$

Aplicando esta outra propriedade:

$\frac{1}{2} . \left( \frac{3.t {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{t {}^{1 + 1} }{1 + 1} \right) \\ \\ \frac{1}{2} . \left( \frac{3t {}^{3} }{3} + \frac{t {}^{2} }{2} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{\frac{1}{2} t {}^{3} + \frac{t {}^{2} }{4} + k \: }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado