Question

O volume do sólido interno à esfera {x^2} + {y^2} + {z^2} = 4z e acima do cone {x^2} + {y^2} = {z^2} é igual a

Escolha uma:
a. 2\pi
b. 3\pi
c. 8\pi
d. 11\pi
e. 13\pi

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos encontrar o volume do sólido interno à esfera de equação $x^2+y^2+z^2=4z$ e acima do cone de equação $x^2+y^2=z^2$.

Para isso, utilizaremos integrais triplas. Primeiro, devemos encontrar as equações reduzidas destes sólidos e definir os limites de integração.

Na equação da esfera:

Some $-4z+4$ em ambos os lados da equação

$x^2+y^2+z^2-4z+4=4$

Fatore o trinômio quadrado perfeito

$x^2+y^2+(z-2)^2=4$

Facilmente, podemos ver que esta esfera tem centro em $(0,~0,~2)$ e raio igual a $2$.

Agora, parametrizamos as equações:

$\begin{cases}x=r\cos(\theta)\\y=r\sin(\theta)\\z=z\\\end{cases}$

Ao substituirmos as parametrizações em cada uma das equações, teremos:

O limite superior de integração:

$(r\cos(\theta))^2+(r\sin(\theta))^2+(z-2)^2=4\\\\\\ r^2+(z-2)^2=4\\\\\\ (z-2)^2=4-r^2\\\\\\ z-2=\sqrt{4-z^2}\\\\\\ z=\sqrt{4-r^2}+2$

O limite inferior de integração:

$(r\cos(\theta))^2+(r\sin(\theta))^2=z^2\\\\\\ r^2=z^2\\\\\\ z=r$

Substituindo a equação do cone $x^2+y^2=z^2$ na equação da esfera, teremos:

$z^2+z^2=4z\\\\\\ 2z^2=4z\\\\\\ z^2=2z\\\\\\ z=0~~~ou~~~z=2$

Facilmente, podemos encontrar os limites de integração das outras variáveis:

$0\leq r\leq 2\\\\\\ 0\leq \theta\leq 2\pi$

A integral tripla que calcula o volume deste sólido será dada por: $\displaystyle{\iiint_T1\,dV=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1}^{z_2}J(r,~\theta,~z)\,dz\,dr\,d\theta$, em que $J(r,~\theta,~z)$ é o determinante Jacobiano:

$J(r,~\theta,~z)=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial z}\\\\\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial z}\\\\\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial z}\\\end{vmatrix}$

Calculando as derivadas parciais, teremos:

$J(r,~\theta,~z)=\begin{vmatrix}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)&0\\1&0&1\\\end{vmatrix}$

Calculando o determinante, teremos:

$J(r,~\theta,~z)=r$

Dessa forma, o volume deste sólido será calculado pela seguinte integral tripla:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_r^{\sqrt{4-r^2}+2}r\,dz\,dr\,d\theta$

A integral mais interna diz respeito à variável $z$. Observe que a variável $r$ é tratada como constante neste caso, e calculamos a integral utilizando a regra da potência:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^2r\cdot z~\biggr|_r^{\sqrt{4-r^2}+2}\,dr\,d\theta$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^2r\cdot (\sqrt{4-r^2}+2-r)\,d\theta$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^2r\sqrt{4-r^2}+2r-r^2\,d\theta$

Sabendo que a integral de uma soma é igual a soma das integrais, utilizamos as técnicas de substituição e potência para calcularmos a segunda integral:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}-\dfrac{(4-r^2)^{\frac{3}{2}}}{3}+r^2-\dfrac{r^3}{3}~\biggr|_0^2\,d\theta$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}-\dfrac{(4-2^2)^{\frac{3}{2}}}{3}-\left(-\dfrac{(4-0)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)+2^2-0^2-\dfrac{2^3}{3}-\left(-\dfrac{0^3}{3}\right)\,d\theta$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\dfrac{8}{3}\right)+4-\dfrac{8}{3}\,d\theta$

Some as frações e calcule a integral, aplicando a regra da potência

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}4\,d\theta}\\\\\\ 4\cdot\theta~\biggr|_0^{2\pi}$

Aplique os limites de integração

$4\cdot(2\pi-0)\\\\\\ 8\pi$

Este é o volume deste sólido e é a resposta contida na letra c).