Question

A integral iterada \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{\sqrt {1 - {x^2}} } {\int\limits_0^{\sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} } {\frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dzdydx} } } é igual a

Escolha uma:
a. \frac{\pi }{6}
b. \frac{\pi }{2}
c. \frac{\pi }{3}
d. \pi
e. \frac{3}{4}\pi

Answer 1

Resposta:

A

Explicação passo-a-passo:

Para melhor explicação da resposta utilize o navegador.

1. Queremos determinar o valor da seguinte integral:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{\sqrt {1 - {x^2}} } {\int\limits_0^{\sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} } {\frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\,dz\,dy\,dx} } }}$

Resolver uma integral desse tipo em coordenadas retangulares é muito difícil, precisamos fazer uma substituição para o tornar o trabalho mais fácil.

2. Analisando o integrando, a sugestão é utilizarmos coordenadas esféricas:

$\mathsf{x=r\,cos\,\theta\,sin\,\varphi}\\\\\mathsf{y=r\,sin\,\theta\,sin\,\varphi}\\\\\mathsf{z=r\,cos\,\varphi}$

Veja a primeira figura abaixo, ela mostra quem são os ângulos indicados acima.

3. Observe que os limites de integração da integral original são todos intervalos positivos, logo para coordenadas cilíndricas temos os seguintes limites de integração:

$\mathsf{r \in [0,1]}\\\\\mathsf{\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]}\\\\\mathsf{\varphi \in [0\,\frac{\pi}{2}]}$

4. O jacobiano da transformação é:

$\mathsf{J(r,\theta,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{cos\,\theta\,sin\,\varphi}&\mathsf{sin\,\theta\,sin\,\varphi}&\mathsf{cos\,\varphi}\\\mathsf{-r\,sin\,\theta\,sin\,\varphi}&\mathsf{r\,cos\,\theta\,sin\,\varphi}&\mathsf{0}\\\mathsf{r\,cos\,\theta\,cos\,\varphi}&\mathsf{r\,sin\,\theta\,cos\,\varphi}&\mathsf{1}\end{array}\right| =\mathsf{-r^2\,sin\,\varphi}$

logo:

$\therefore \mathsf{|\,J(r,\theta,\varphi)\,|=r^2\,sin\,\varphi}$

5. Agora substitua tudo na integral original:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\dfrac{r\,cos\,\varphi}{\sqrt{r^2\,sin^2\,\varphi}}\cdot(r^2\,sin\,\varphi)\,dr\,d\theta\,d\varphi}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\bigg(\int_0^1r^2\,cos\,\varphi\,dr\bigg)\,d\theta\,d\varphi}}}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\bigg(\dfrac{1}{3}\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos\,\varphi\,d\theta\bigg)\,d\varphi}$

$=\mathsf{\displaystyle \dfrac{\pi}{6} \int_0^{\frac{\pi}{2}}cos\,\varphi\,d\varphi=\dfrac{\pi}{6}\cdot[sin\,\varphi]_0^{\frac{\pi}{2}}}$

$=\mathsf{\dfrac{\pi}{6}\cdot\bigg(sin\,\dfrac{\pi}{2}-sin\,0\bigg)=\dfrac{\pi}{6}\cdot(1-0)}\\\\\\=\mathsf{\dfrac{\pi}{6}}$

Conclusão: a alternativa correta é a letra A.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Integral tripla

https://brainly.com.br/tarefa/35191309

Bons estudos! :D

Equipe Brainly