Question

o valor da integral definida 2x.1n x dx variando de 1 a 3 ( 1 é o valor de baixo do s
( 3 é o valor de sima do s)
tenho como resposta : cinco itens para facilitar, só um é o verdadeiro
a= 3 b= 3,4 c= 5,0 d= 5,4 e= 5,9

Answer 1

Resposta:

5,9

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente veja se é essa a integral:

$\int\limits^3_1 {2xln(x)} \, dx$

2 é constante, então podemos retirar:

$2\int\limits^3_1 {xln(x)} \, dx$

Agora vamos aplicar Integração por partes:

*Cálculo auxiliar da integração por partes:

Como não se tem regra para integral de ln(x) nós escolhemos este como u:

$u =ln(x)$ e $dv = x dx$

Então,

$du = \frac{1}{x}dx$ e $v = \int\ {x} \, dx = \frac{x^{2} }{2} + c$

Assim, pela fórmula da integral por partes, temos:

$\int\ {u} \, dv = uv -\int\ {v} \, du$

$\int\ {ln(x)} \, xdx = ln(x)\frac{x^{2} }{2} -\int\ {\frac{x^{2} }{2} } \, \frac{1}{x}dx$(i)

Agora precisamos resolver a última integral:

Vou reescrevê-la como:

$\frac{1}{2} \int\ {\frac{x^{2} }{x} } \, dx$

Efetuando a divisão de x:

$\frac{1}{2} \int\ {x } \, dx =\frac{1}{2}( \frac{x^{2} }{2} +c) = \frac{x^{2} }{4}+c$

Voltando em (i):

$\int\ {ln(x)} \, xdx = ln(x)\frac{x^{2} }{2} - \frac{x^{2} }{4}+c$

fatorando o termo comum x²/2

$\int\ {ln(x)} \, xdx = \frac{x^{2} }{2} (ln(x) - \frac{1}{2} )+c$

Agora voltemos no problema original:

$2\int\limits^3_1 {xln(x)} \, dx = 2[ \frac{x^{2} }{2} (ln(x) - \frac{1}{2} )]$

obs: tem que por de 1 à 3 nos colchetes também

Resolvendo os limites:

$2[ [ \frac{3^{2} }{2} (ln(3) - \frac{1}{2} )]-[ \frac{1^{2} }{2} (ln(1) - \frac{1}{2} )]]$

$2[ [ \frac{9 }{2} (ln(3) - \frac{1}{2} )]-[ \frac{1 }{2} (ln(1) - \frac{1}{2} )]]$

$2[ \frac{9ln(3)}{2} - \frac{9}{4}+ \frac{1}{4} ]$

$2[ \frac{18ln(3)}{4} - \frac{9}{4} + \frac{1}{4} ]$

$2[ \frac{18ln(3)-9+1}{4} ]$

$2[ \frac{18ln(3)-8}{4} ]$

$2[ \frac{2(9ln(3)-4)}{4} ]$

$2[ \frac{(9ln(3)-4)}{2} ]$

$9ln(3)-4$

Se 9ln(3) ≈ 9.88751, então:

$9,88751 - 4 = 5.88751$

Que é aproximadamente 5,9