Question

Determine as equações das retas tangente e normal à curva y = x² − 1 em x = 2.

Answer 1

Reta tangente e reta normal à curva y = x²-1 em x= 2

1º Reta tangente :

$y = m.x+n$

coeficiente angular é a derivada da curva.

$\displaystyle m = y' \to m = 2x$,

substituindo o ponto  x = 2

$\to y' = 2.2 \to y' = 4$

$y = 4x + n$

Para achar o valor de n, precisamos do valor de y, então vamos substituir o ponto x=2 na curva :

$y = 2^2-1 \to y = 3$

então a reta tangente passa pelo ponto (2,3), ou seja :

$y = 4x + n \to 3 = 4.2 + n \to \boxed{n = -5 }$  

Portanto a reta tangente no ponto x = 2 é :

$\huge\boxed{y=4x-5}$

2º Reta normal

A reta normal é perpendicular a reta tangente, então ao multiplicar o coeficiente angular da reta tangente com o coeficiente angular da reta normal  tem que dar -1.

Reta normal :

$y - y_o=a(x-x_o)$  

reta tangente :

$y = 4x-5$

coeficiente angular da reta normal :

$\displaystyle a.4 = -1 \to \boxed{a = \frac{-1}{4}}$

A reta normal passa pelos pontos (2,3), portanto a reta normal será :

$\displaystyle y - 3 = \frac{-1}{4}(x-2)$

$\displaystyle y = \frac{-x}{4}+\frac{1}{2}+3$

$\displaystyle \huge\boxed{y = \frac{-x}{4}+\frac{7}{2}}$

(imagem para provar)