Question

log2(x-2) - log4(x) = 1 ?

Qual é o valor de X ?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=> Condição de existência

• $\sf x-2 > 0$

$\sf x > 2$

• $\sf x > 0$

A condição de existência é $\sf x > 2$

Lembre-se que:

• $\sf log_{b}~a=\dfrac{log_{c}~a}{log_{c}~b}$

• $\sf log_{b}~a^m=m\cdot log_{b}~a$

• $\sf log_{a}~a=1$

• $\sf m\cdot log_{b}~a=log_{b}~a^m$

• $\sf log_{b}~a-log_{b}~c=log_{b}~\Big(\dfrac{a}{c}\Big)$

Assim:

$\sf log_{2}~(x-2)-log_{4}~x=1$

$\sf log_{2}~(x-2)-\dfrac{log_{2}~x}{log_{2}~4}=1$

$\sf log_{2}~(x-2)-\dfrac{log_{2}~x}{log_{2}~2^2}=1$

$\sf log_{2}~(x-2)-\dfrac{log_{2}~x}{2\cdot log_{2}~2}=1$

$\sf log_{2}~(x-2)-\dfrac{log_{2}~x}{2\cdot1}=1$

$\sf log_{2}~(x-2)-\dfrac{log_{2}~x}{2}=1$

$\sf 2\cdot log_{2}~(x-2)-log_{2}~x=2\cdot1$

$\sf log_{2}~(x-2)^2-log_{2}~x=2$

$\sf log_{2}~\Big[\dfrac{(x-2)^2}{x}\Big]=2$

$\sf \dfrac{(x-2)^2}{x}=2^2$

$\sf \dfrac{(x-2)^2}{x}=4$

$\sf (x-2)^2=4x$

$\sf x^2-4x+4=4x$

$\sf x^2-4x-4x+4=0$

$\sf x^2-8x+4=0$

$\sf \Delta=(-8)^2-4\cdot1\cdot4$

$\sf \Delta=64-16$

$\sf \Delta=48$

$\sf x=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{48}}{2\cdot1}=\dfrac{8\pm4\sqrt{3}}{2}$

$\sf x'=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}~\Rightarrow~\red{x'=4+2\sqrt{3}}$

$\sf x"=\dfrac{8-4\sqrt{3}}{2}~\Rightarrow~\red{x"=4-2\sqrt{3}}$ (não serve, pois é menor que 2)

Logo, $\sf x=4+2\sqrt{3}$

O conjunto solução é:

$\sf S=\{4+2\sqrt{3}\}$