Question

A taxa de variação da função f(x,y,z)=sen (xyz), no ponto (1/2,1/3, π),na direção do vetor u =(1/√3,-1/√3,1/√3) é:
$\frac{1-\pi }{12}$
$\frac{2+\pi}{9}$
$\frac{1+\pi }{12}$
$\frac{2-2\pi }{9}$
$\frac{1-2\pi }{9}$

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a taxa de variação da função $f(x,~y,~z)$ em um ponto da direção de um vetor $\overrightarrow u$. Para isso, devemos calcular sua derivada direcional, dada pela fórmula:

$D_{\overrightarrow u}f=\overrightarrow \nabla f\cdot \^u$, em que $\^u=\dfrac{\overrightarrow u}{|\overrightarrow u|}$ é o versor de $\overrightarrow u$ e $\overrightarrow \nabla f$ é o vetor gradiente da função, calculado no ponto.

O vetor gradiente é dado por: $\overrightarrow \nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y},~\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$.

Seja a função $f(x,~y,~z)=\sin(xyz)$. Devemos calcular sua taxa de variação no ponto $\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\pi\right)$ e na direção do vetor $\overrightarrow u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

Calculamos o vetor gradiente da função. Lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função é calculada em respeito a uma das variáveis, tratando o restante delas como constantes.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função seno é a função cosseno.

$\overrightarrow \nabla f=(yz\cos(xyz),~xz\cos(xyz),~xy\cos(xyz))$

Substituímos as coordenadas dos pontos

$\overrightarrow \nabla f\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\pi\right)=\left(\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cos\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\right),~\dfrac{1}{2}\cdot\pi\cos\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\right),~\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cos\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\right)\right)$

$\overrightarrow \nabla f\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\pi\right)=\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right),~\dfrac{\pi}{2}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right),~\dfrac{1}{6}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, teremos:

$\overrightarrow \nabla f\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\pi\right)=\left(\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6},~\dfrac{\pi\sqrt{3}}{4},~\dfrac{\sqrt{3}}{12}\right)$

Então, calculamos o versor de $\overrightarrow u$. Lembre-se que o módulo de um vetor $\overrightarrow v=\left<a,~b,~c\right>$ é calculado por $|\overrightarrow v|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ e o produto de uma constante por um vetor é dado por: $k\cdot \overrightarrow v=\left<k\cdot a,~k\cdot b,~k\cdot c\right>$.

$\^u=\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}}$

Calcule as potências e some os valores

$\^u=\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}}\\\\\\ \^u=\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{\dfrac{3}{3}}}\\\\\\ \^u=\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{1}}$

Então, calcule o radical e o produto da constante pelo vetor

$\^u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Agora, calcule a derivada direcional:

$D_{\overrightarrow u}f=\left(\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6},~\dfrac{\pi\sqrt{3}}{4},~\dfrac{\sqrt{3}}{12}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$

O produto escalar de dois vetores $\overrightarrow {v_1}=\left<a_1,~b_1,~c_1\right>$ e $\overrightarrow {v_2}=\left<a_2,~b_2,~c_2\right>$ é dado por: $\overrightarrow {v_1}\cdot\overrightarrow {v_2}=a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2$.

Assim, teremos:

$D_{\overrightarrow u}f=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\pi\sqrt{3}}{4}\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Multiplique os valores

$D_{\overrightarrow u}f=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{12}$

Some as frações

$D_{\overrightarrow u}f=\dfrac{2\pi-3\pi+1}{12}\\\\\\ D_{\overrightarrow u}f=\dfrac{1-\pi}{12}$

Esta é a taxa de variação desta função neste ponto e na direção deste vetor, e é a resposta contida na letra a).