Question

1- Usando o processo geométrico de al – Khwarizmi, determine as raízes de cada uma das seguintes equações do 2º grau

Preciso de todas

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

O processo geométrico de al-khowarizmi, é o mesmo que COMPLETAR QUADRADOS, ou seja, escrevê-la na forma fatorada, retornando ao produto notável que a originou.

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

(a - b)² = a² - 2.a.b + b²

a)

x² + 2x - 15 = 0

(x + 1)² - 1 - 15 = 0

(x + 1)² - 16 = 0

(x + 1)² = 16

x + 1 = ±√16

x = ±√16 - 1

x = ± 4 - 1

x1 = +4 - 1  =  3

x2 = -4 - 1 = -5

b)

x² + 4x - 12 = 0

(x + 2)² - 4 - 12 = 0

(x + 2)² - 16 = 0

(x + 2)² = 16

x + 2 = ±√16

x = ±√16 - 2

x1 = +4 - 2 = 2

x2 = -4 - 2 = -6

c)

x² + 12x + 32 = 0

(x + 6)² - 36 + 32 = 0

(x + 6)² - 4 = 0

(x + 6)² = 4

x + 6 = ±√4

x = ±√4 - 6

x1 = +2 - 6 = -4

x2 = -2 - 6 = -8

d)

x² - 10x + 16 = 0

(x - 5)² - 25 + 16 = 0

(x - 5)² -9 = 0

(x - 5)² = 9

x - 5 = ±√9

x = ±√9 + 5

x1 = +3 + 5 = 8

x2 = -3 + 5 = 2

e)

4x² - 8x + 4 = 0

(2x - 2)² - 4 + 4 = 0

(2x - 2)² = 0

(2x - 2)² = 0

2x - 2 = 0

2x = 2

x1 = x2 = 2/2 = 1

f)

9x² + 36x - 189 = 0

(3x + 6)² -36 - 189 = 0

(3x + 6)² -225 = 0

(3x + 6)² = 225

3x+ 6 = ±√225

3x = ±√225 - 6

x1 = (+15 - 6) / 3 ⇒ x1 = 9/3 = 3

x2 = (-15 - 6) / 3 ⇒ x2 = -21/3 = -7

Answer 2

As raízes da equação $x^2+2x-15=0$ são $x_1=3$ e $x_2=-5$

Raízes de uma equação

Al-Khwarizmi, através de um produto geométrico onde utilizo a figura do quadrado, criou uma forma de completar quadrados a fim de criar um produto notável e com isso resolver uma equação de segundo grau sem conhecer a fórmula.

Um ponto importante é que a equação deve ser escrita de tal forma que todos os termos permaneçam positivos, pois representam comprimentos ou áreas de figuras. Quando apresentei a teoria, ela se baseava na ajuda de um quadrado dividindo-o em nove partes, portanto, a área do quadrado completo deve ser igual à soma das nove partes que o formam.

Para completar quadrados, você deve conhecer a fórmula do produto notável:

$(A + B)^2=A^2+2AB+B^2\\(A - B)^2=A^2-2AB+B^2$

A ideia principal de completar o quadrado é trazer a expressão original para um produto notável.

Para este caso vamos completar quadrados adicionando e subtraindo um valor à equação original mas sem que este valor altere a expressão. Por exemplo, vemos este caso:

$x^2-2x-2=0$

• Passo 1: Passamos o valor constante para o lado direito da equação:

$x^2-2x=2$

• Passo 2: Adicionamos e subtraímos 1 no lado esquerdo da equação:

$x^2-2x+1-1=2$

Com isso vemos que a equação não mudou, isso é somar um valor sem alterar a expressão.

• Passo 3: Organizamos a expressão para encontrar o produto notável:

$x^2-2x+1-1=2\\x^2-2x+1=2-1\\(x-1)^2=1$

• Passo 4: encontramos as raízes:

$(x-1)^2=1\\(x-1)=\pm \sqrt{1} \\(x-1)=\pm1\\x=\pm 1 +1$

as raízes são:

$x_1=+1+1=2\\x_2=-1+1=0$

Agora vamos aplicar o mesmo procedimento anterior para encontrar as raízes de cada equação dada:

• a) $x^2+2x-15=0$

$x^2+2x-15=0\\x^2+2x=15\\x^2+2x+1-1=15\\x^2+2x+1=15+1\\x^2+2x+1=16\\(x+1)^2=16\\x+1=\pm\sqrt{16} \\x=\pm4-1$

$x_1=4-1=3\\x_2=-4-1=-5$

As raízes são:

$x_1=3\\x_2=-5$

• b) $x^2+4x-12=0$

$x^2+4x-12=0\\x^2+4x=12\\x^2+4x+4-4=12\\x^2+4x+4=12+4\\(x+2)^2=16\\(x+2)=\pm\sqrt{16} \\x+2=\pm 4\\x=\pm 4-2$

$x_1=+4-2=2\\x_2=-4-2=-6$

As raízes são:

$x_1=2\\x_2=-6$

• c) $x^2+12x+32=0$

$x^2+12x+32=0\\x^2+12x=-32\\x^2+12x+36-36=-32\\x^2+12x+36=-32+36\\(x+6)^2=4\\x+6=\pm\sqrt{4} \\x+6=\pm2\\x=\pm2-6$

$x_1=2-6=-4\\x_2=-2-6=-8$

As raízes são:

$x_1=-4\\x_2=-8$

• d) $x^2-10x+16=0$

$x^2-10x+16=0\\x^2-10x=-16\\x^2-10x+25-25=-16\\x^2-10x+25=-16+25\\(x-5)^2=9\\x-5=\pm\sqrt{9} \\x-5=\pm3\\x=\pm3+5$

$x_1=3+5=8\\x_2=-3+5=2$

As raízes são:

$x_1=8\\x_2=2$

• e) $4x^2-8x+4=0$

$4x^2-8x+4=0\\4x^2-8x+4=0\\(2x-2)^2=0\\(2x-2)=\pm\sqrt{0} \\(2x-2)=0\\2x=2\\x=\frac{2}{2} \\x=1$

As raízes são:

$x_1=1$

• f) $9x^2+36x-189=0$

$9x^2+36x-189=0\\9x^2+36x=189\\9x^2+36x+36-36=189\\(3x+6)^2=189+36\\(3x+6)^2=225\\(3x+6)=\pm\sqrt{225} \\3x+6=\pm15\\3x=\pm15-6\\x=\frac{\pm15-6}{3}$

$x_1=\frac{15-6}{3} =\frac{9}{3} =3\\x_2=\frac{-15-6}{3} =\frac{-21}{3}=-7$

As raízes são:

$x_1=3\\x_2=-7$

Se você quiser ver mais exemplos com produtos notáveis, você pode ver este link:

https://brainly.com.br/tarefa/25625278

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