Question

5) Encontre a derivada de cada fun¸c˜ao abaixo. Dica: Use a regra do produto e a regra do
quociente.
a) f(x) = e (elevado a )x· x (elevado a) 3
b) f(x) = √x · x(elevado a )2
c) f(x) = x(elevado a)4 divido por e (elevado a) x
d) f(x) = ln(x) divido por x (elevado a)3

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf f(x)=e^x\cdot x^3$

Pela regra do produto:

$\sf f'(x)=(e^x)'\cdot x^3+(x^3)'\cdot e^x$

$\sf f'(x)=e^x\cdot x^3+3x^2\cdot e^x$

$\sf \red{f'(x)=e^{x}\cdot x^2\cdot(x+3)}$

b)

$\sf f(x)=\sqrt{x}\cdot x^2$

Pela regra do produto:

$\sf f'(x)=(\sqrt{x})'\cdot x^2+(x^2)'\cdot\sqrt{x}$

$\sf f'(x)=(x^{\frac{1}{2}})'\cdot x^2+(x^2)'\cdot\sqrt{x}$

$\sf f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}\cdot x^2+2x\cdot\sqrt{x}$

$\sf f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1-2}{2}}\cdot x^2+2x\cdot\sqrt{x}$

$\sf f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot x^2+2x\cdot\sqrt{x}$

$\sf f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot x^2+2x\cdot\sqrt{x}$

$\sf \red{f'(x)=\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}+2x\cdot\sqrt{x}}$

c)

$\sf f(x)=\dfrac{x^4}{e^x}$

Pela regra do quociente:

$\sf f'(x)=\dfrac{(x^4)'\cdot e^x-(e^x)'\cdot x^4}{(e^x)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{4x^3\cdot e^x-e^{x}\cdot x^4}{e^x\cdot e^x}$

$\sf f'(x)=\dfrac{e^{x}\cdot x^3\cdot(4-x)}{e^{x}\cdot e^{x}}$

$\sf \red{f'(x)=\dfrac{x^3\cdot(4-x)}{e^x}}$

d)

$\sf f(x)=\dfrac{ln~x}{x^3}$

Pela regra do quociente:

$\sf f'(x)=\dfrac{(ln~x)'\cdot x^3-(x^3)'\cdot ln~x}{(x^3)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^3-3x^2\cdot ln~x}{x^6}$

$\sf f'(x)=\dfrac{\frac{x^3}{x}-3x^2\cdot ln~x}{x^6}$

$\sf f'(x)=\dfrac{x^2-3x^2\cdot ln~x}{x^6}$

$\sf f'(x)=\dfrac{x^2\cdot(1-3\cdot ln~x)}{x^2\cdot x^4}$

$\sf \red{f'(x)=\dfrac{1-3\cdot ln~x}{x^4}}$