Question

Prove que toda função polinomial da forma
f(x)=ax³+bx²+cx+d com x≠0
Possui um único ponto de inflexão e determine sua abscissa.

Answer 1

pelo criterio da segunda derivada o ponto ou os pontos de inflexao sera as raizes da segunda derivada. a segunda derivada de uma função polinomial de 3 grau, só poderar ser uma função de primeiro grau, e como as funções do primeiro grau só tem uma unica raiz possivel, conclui que funções polinomiais de 3 grau só podem ter um unico ponto de inflexão.

$f(x) = a x^{3} + b x^{2} +cx + d$

$f'(x) = 3a x^{2} + 2bx + c$

$f''(x) = 6ax + 2b$

a odcissa do ponto de inflexao é a raiz da segunda derivada, logo

6ax + 2b = 0

6ax = -2b

x = -2b/6a

x = -b / 3a