Question

Um triângulo tem vértices A(1,2), B(-3,7) e

C(-1,0). Determine o comprimento da altura relati-

va ao lado BC.

Answer 1

Vértices do triângulo : A(-1,2), B(-3,7) , C(-1,0).

Altura relativa ao lado BC, passa pelo ponto A e é perpendicular ao lado BC ( obviamente). Vou chama-la de reta H.

Reta H perpendicular a reta BC, então o produto dos seus coeficientes angulares tem que dar -1 :

$\displaystyle m_{H}.m_{BC} = -1$

coeficiente da reta BC :

$\displaystyle m_{BC} = \frac{7-0}{-3-(-1)} \to m_{BC} = -\frac{7}{2}$

Coeficiente da reta H :

$\displaystyle m_{H}.\frac{-7}{2} = - 1 \to m_{H} = \frac{2}{7}$

Reta H  passando pelo ponto A (1,2) :

$\displaystyle \text{y}-\text y_o = \text m_{H}(\text x - \text x_o) \to \text y -2 = \frac{2}{7}(\text x - 1 )$

$\displaystyle \text{y}-2= \frac{2x}{7}-\frac{2}{7} \to \boxed{\text y =\frac{2x}{7} + \frac{12}{7}}$

Reta BC :

$\displaystyle \text{y}-\text y_o = \text m_{BC}(\text x - \text x_o) \to \text y = \frac{-7}{2}(\text x +1 )$

$\boxed{\displaystyle \text y =\frac{-7x}{2} - \frac{-7}{2} }$

Reta H e Reta BC se interceptam num determinado ponto P, vamos descobrir esse ponto igualando as retas:

$\displaystyle \frac{2x}{7}+\frac{12}{7}=\frac{-7x}{2}-\frac{-7}{2}$

$\displaystyle \frac{2x}{7}+\frac{7x}{2}=\frac{-12}{7}-\frac{-7}{2}$

$\displaystyle \frac{4x+49x}{14}=\frac{-24-49}{14} \to 53 \text x = -73$

$\boxed{\displaystyle \text x = \frac{-73}{53}}$

achando o ponto em y :

$\displaystyle \text y =\frac{-2.73}{7.53} + \frac{12}{7} \to \text y = \frac{-146}{7.53} + \frac{12.53}{7.53} \to \text y = \frac{-146+636}{7.53}$

$\displaystyle \text y = \frac{490}{7.53} \to \boxed{\text y = \frac{70}{53}}$

Ponto onde se interceptam :

$\displaystyle \text P(\frac{-73}{53},\frac{70}{53})$

Agora basta fazer a distância do ponto P até o ponto A para encontrar o comprimento da altura :

$\sqrt{(\text x_1-\text x_2)^2+(\text y_1-\text y_2)^2}$

substituindo os pontos :

$\displaystyle \sqrt{(\text 1-\frac{(-73)}{53})^2+(\text 2-\frac{70}{53})^2}$

$\displaystyle \sqrt{( \frac{53+73}{53})^2+( \frac{106-70}{53})^2}$

$\displaystyle \sqrt{ \frac{126^2}{53^2}+ \frac{36^2}{53^2}} \to \frac{\sqrt{15876+1296}}{53} \to \frac{\sqrt{17172}}{53}$

simplificando :

$\displaystyle \frac{\sqrt{17172}}{53} \to \frac{\sqrt{2^2.3^4.53}}{53} \to \frac{18\sqrt{53}}{53}$

Portanto a altura AH relativa ao lado BC é :

$\huge\boxed{\displaystyle AH = \frac{18\sqrt{53}}{53}}$