Mostre que todo número primo maior do que 3 é da forma 6k + 1 ou 6k + 5, com k inteiro. (Dica dada pela questão: Analise os possíveis restos da divisão euclidiana do número primo por 3).
Respostas
Explicação passo-a-passo:
Quando dividimos um número por 6, há 6 possibilidades para o resto: 0, 1, 2, 3, 4 ou 6
=> Para N = 6k (resto 0)
Como N = 6k, então N é divisível por 6 e não é primo
=> Para N = 6k + 2 (resto 2)
N = 6k + 2
N = 2.(3k + 1)
N = 2p
Temos que N é divisível por 2, então não é primo
=> Para N = 6k + 3 (resto 3)
N = 6k + 3
N = 3.(2k + 1)
N = 3p
Vemos que N é divisível por 3, logo não é primo
=> Para N = 6k + 4 (resto 4)
N = 6k + 4
N = 2.(3k + 2)
N = 2p
Assim, N é divisível por 2, portanto não é primo
Logo, N = 6k + 1 ou N = 6k + 5
Explicação passo-a-passo:
sabemos que todo número que seja maior que 5 pode ser escrito como 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4 e 6k+5.
desses casos podemos destacar estas observações:
6k é múltiplo de 6, e pode ser decomposto em 6(k).
6k+1 não pode ser decomposto.
6k+2 pode ser decomposto em 2(3k+1).
6k+3 pode ser decomposto em 3(2k+1).
6k+4 pode ser decomposto em 2(3k+2).
6k+5 não pode ser decomposto.
como sabemos que os números primos não podem ser decompostos podemos falar que todo número primo pode ser expressado por 6k+1 ou 6k+5.