Dada a função f(x) = x3 – 3x2– 9x + 7, estude os extremos relativos (máximos ou mínimos).
a) Calcule f ’(x).
b) Ache os pontos críticos ou estacionários da função, fazendo f ’(x) = 0.
c) Analise os intervalos que a função é crescente e descrecente.
d) Faça o gráfico da função.
Respostas
a) f'(x) é a primeira derivada da função f(x) em relação a x.
Seja a função: y = f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
y' = f'(x) = dy/dx
f'(x) = d(x³ - 3x² - 9x + 7)/dx
f'(x) = 3.x² - 2.3x¹ - 9
f'(x) = 3x² - 6x - 9
b) Pontos críticos são encontrados quando f'(x) = 0, então:
3x² - 6x - 9 = 0
Por soma e produto, resolvemos a equação do segundo grau.
Soma das raízes = -b/a = -(-6)/3 = 2
Produto das raízes = c/a = -9/3 = -3
Raízes: x' = 3 e -1
Portanto, a função tem pontos críticos em f(3) e f(-1)
f(3) = (3)³ - 3.(3)² - 9.(3) + 7 = -20 => 1° ponto crítico: (3,20)
f(-1) = (-1)³ - 3.(-1)² - 9.(-1) + 7 = 12 => 2° ponto crítico: (-1, 12)
Lembre que a função cresce para valores f'(x) > 0 e decresce para f'(x) < 0, ou seja:
- Para x < -1 ou x > 3, f'(x) > 0. Assim, f(x) cresce em (-∞,-1) U (3,∞)
- Para -1 < x < 3, f'(x) < 0. Portanto, f(x) decresce em (-1,3).
c) Analisamos os intervalos onde a função cresce ou decresce, quando encontramos a segunda derivada e estudamos o seu sinal. Para isso, basta derivar novamente a primeira derivada.
f''(x) = d²y/dx²
f''(x) = d(3x² - 6x - 9)
f''(x) = 6x - 6
6x - 6 = 0 => x = 1
Logo, é fácil observar que
- Para x > 1, a função f''(x) é maior que 0, portanto f(x) possui concavidade para cima no intervalo (1,∞).
- Para x < 1, a função f''(x) é menor que 0, portanto f(x) possui concavidade para baixo no intervalo (-∞,1).
Para esboçar o gráfico, vale a pena encontrar alguns pontos notáveis do gráfico. Por exemplo, no ponto onde x = 1, a função f(x) vale f(1), ou seja,
f(1) = 1³ - 3.1² - 9.1 + 7
f(1) = -4
Já no ponto onde x = 0, f(0) = 7.
Em resumo, temos os pontos:
- Pontos críticos: (-1, 12) e (3,-20)
- Ponto de inflexão: (1, -4)
- Ponto em que cruza o eixo y: (0,7)
Observe o gráfico em anexo:
