Question

provar por indução que n! > n2, para n ≥ 4.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A base é n = 4

$\sf 4! > 4^2$

$\sf 24 > 16$

Pela hipótese de indução, $\sf n! > n^2$, para n ≥ 4.

Vamos supor que essa desigualdade seja válida para um certo $\sf k$ e mostraremos que também valerá para k + 1

$\sf k! > k^2$

Somando $\sf 2k+1$:

$\sf k!+2k+1 > k^2+2k+1$

$\sf k!+2k+1 > (k+1)^2$

Precisamos mostrar que $\sf (k+1)! > k!+2k+1$

Subtraindo $\sf k!$:

$\sf (k+1)!-k! > k!+2k+1-k!$

$\sf k!\cdot(k+1-1) > 2k+1$

$\sf k!\cdot k > 2k+1$

Dividindo por k:

$\sf \dfrac{k!\cdot k}{k} > \dfrac{2k+1}{k}$

$\sf k! > 2+\dfrac{1}{k}$

Como k ≥ 4, então $\sf \dfrac{1}{k} < 1$

Assim, $\sf 2+\dfrac{1}{k} < 3$ e $\sf k! > 3$

Sendo essa desigualdade verdadeira, segue que, $\sf (k+1)! > k!+2k+1$

E sabemos que $\sf k!+2k+1 > (k+1)^2$

Logo, $\sf (k+1)! > (k+1)^2$, provando o que queríamos