Question

No plano cartesiano , os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem a circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4), é tangente a C no ponto (0,3).
Então o raio C vale:

Answer 1

Resposta:

√5

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que o segmento de reta que liga o centro da segunda circunferência (chamemos ela de D) ao ponto de tangência Pt (0,3)  pertence à reta que interliga ambos os centro de C e D (lembre-se que a reta tangente à ambos as circunferências, no ponto Pt onde se tocam, é perpendicular ao raio de ambas.

Sejam

P0 = (-1/2 , 4)

P1 = (-1 , 0)

Pt = (0 , 3)

Pc = (a,b)

Portanto, temos que a inclinação desta reta será:

m = Δy / Δx

m = (yt - y0) / (xt - x0)

m = (3 - 4) / (0 - (-1/2)

m = -1 / (1/2)

m = -2

r: y = -2x + b

3 = -2*0 + b

b = 3

r: y = -2x + 3

Com a equação desta reta, podemos encontrar o ponto que pertence à ela de tal forma que as distâncias

D(c,t) = D(c,1) = Rc

Podemos imaginar a distância entre dois pontos como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são a distância em x entre ambos e a distância em y entre ambos. Temos então que a equação para a distância entre dois pontos é

$d = \sqrt[2]{(X_{b} - X_{a})^{2} + (Y_{b} - X_{a})^{2}}$

Portanto sabemos que distância de Pc até Pt é de

$d_{PcPt} = \sqrt[2]{(0 - a)^{2} + (3 - b)^{2}}$

$d_{PcPt} = \sqrt[2]{ (-a)^{2} + (3 - b)^{2}}\\\\\\d_{PcPt} = \sqrt[2]{ a^{2} +b^{2}- 6b + 9}$

E que a distância de Pc até p1 é de

$d_{PcP1} = \sqrt[2]{(-1 - a)^{2} + (0 - b)^{2}}\\\\\\d_{PcP1} = \sqrt[2]{(-1 - a)^{2} + (-b)^{2}}\\\\d_{PcP1} = \sqrt[2]{a^{2} + 2a + 1 + b^{2}}$

Portanto, sendo D(c,t) = D(c,1) = Rc sabemos que

$a^{2} +b^{2}- 6b + 9 = a^{2} + 2a + 1 + b^{2}\\\\-6b + 9 = 2a + 1\\\\a = \frac{-6b + 8}{2}$

Com este valor para a e sabendo que o ponto Pc passa pela reta r temos então que

$b = -2*\frac{-6b + 8}{2} + 3$

b = 6b - 8 + 3

-5b = -5

b = 5/5

b = 1

Ou seja

$a = \frac{-6*1 + 8}{2}\\\\a = \frac{2}{2}\\\\a = 1$

Portanto, Pc = (1,1)

Sabendo o centro da circunferência então temos que a distância do centro até P1 ou Pt será de

$d_{PcP1} = \sqrt[2]{((-1) - 1)^{2} + (0 - 1)^{2}}\\\\d_{PcP1} = \sqrt[2]{(-2)^{2} + (-1)^{2}}\\\\d_{PcP1} = \sqrt[2]{4 + 1}\\\\d_{PcP1} = \sqrt[]{5}$

Podemos observar, como na figura em anexo, que de fato estes pontos correspondem à descrição do enunciado.

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Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦ "

"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."