Question

Considera o polinómio P(x) dado por P(x)=$x^{3}$+$x^{2}$-6$x$, divisível pelo monómio $x$-k.
Qual é o valor de k, sabendo que k é uma constante real positiva?
Explica através dos teus cálculos.

Answer 1

Para resolver esse problema vamos usar o Teorema das raízes racionais e assim descobrir quais são as três raízes dessa função, a raiz que bater com as informações dadas será a nossa resposta. O teorema das raízes racionais diz:

• Seja $A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1} \cdots A_1x+A_0=0$ uma equação com coeficientes inteiros. Se p/q (fração irredutível) é uma raiz, então p é divisor de $A_0$e q é divisor de $A_n$.

Uma proposição desse Teorema é:

• Se $A_n=1$as possíveis raízes são os divisores de $A_0$.

Partindo desse teorema vamos iniciar os cálculos. A questão nos fornece a seguinte equação:

$x {}^{3} + x {}^{2} - 6 = 0$

Note que $A_n = 1$, então as possíveis raízes serão os divisores de $A_0$ que é justamente o número 6. Os divisores de 6 são:

$D \{6 \} = {1,2,3,6}$

Portanto essas são as nossas possíveis raízes, a única forma de saber qual é raiz ou não é ir testando na equação, a que possui o resultado 0 será a nossa raiz:

$\text{ para} \: x = 1 : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x {}^{3} + x { }^{2 } - 6x = 0 \\ 1 {}^{3} + 1 {}^{2} - 6.1 = 0 \\ 1 + 1 - 6 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \\ 2 - 6 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ - 4 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \text{para} \: x = 2 : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x {}^{3} + x {}^{2} - 6x = 0 \\ 2 {}^{3} + 2 {}^{2} - 6.2 = 0 \\ 8 + 4 - 12 = 0 \: \: \: \: \: \\ 12 - 12 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto temos que 2 é uma raiz dessa função, para encontrar as outras duas vamos usar o Dispositivo Briot-ruffini, já que sabemos pelo menos uma raiz:

$x {}^{3} + x {}^{2} - 6x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \begin{array}{c|c}2&1&1& - 6&0\\ &1&3&{0}& \underbrace{0}_{ \sf resto} &&&&&&\end{array} \\ \\ \sf quociente = x {}^{2} + 3x\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só resolver essa equação do segundo grau e encontrar as outras duas raízes:

$x {}^{2} + 3x = 0 \: \: \: \: \\ x.(x + 3) = 0$

Pela lei do anulamento de produto, cada um desses produtos deve ser igual a "0", então:

$x_1 = 0 \: \: e \: \: x_2 = - 3$

Portanto temos que as raízes são:

$S=\{-3,0,2\}$

A questão nos diz que o valor de "k" é uma constante positiva, ou seja, o número -3 e o 0 já não podem ser, então só resta o 2, logo essa será a resposta.

• Resposta: K = 2