Question

Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)= 5y².

Answer 1

Derivada parcial em relação a x, vc vai considerar Y como sendo constante e vai derivar só em relação a x.

Derivada parcial em relação y vc vai considerar x sendo constante e derivar só em relação a y.

$\text f(\text x,\text y) = 5. \text y^{2}$

derivada parcial de 1ª ordem em relação a x e depois em relação a y :

$\displaystyle \frac{\partial f }{\partial \text x }(5 \text y^{2}) = 0$

$\displaystyle \frac{\partial \text f }{\partial \text y}(5 \text y^{2}) = 10 \text y$

Derivada parcial de 2ª ordem em relação a x e em relação a y :

$\huge\boxed{\displaystyle \frac{\partial^2 f }{\partial \text x^2 }(0) = 0 }$

$\huge\boxed{\displaystyle \frac{\partial^2 \text f }{\partial \text y^2}(10 \text y ) = 10 }$  

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as derivadas parciais de segunda ordem da referida função polinomial em termos de "x" e "y" são, respectivamente:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{xx}(x, y) = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{yy}(x, y) = 10\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial em duas variáveis:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 5y^{2}\end{gathered}$

Para calcular as derivadas parciais de uma função em termos de uma determinada variável devemos considerar todas as demais variáveis como constantes. Além disso, devemos levar em consideração as seguintes regras de derivação que são:

• Regra da potência:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = x^{n} \Longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$

• Regra da constante:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = c \Longrightarrow f'(x) = 0,\:\forall c\in\mathbb{R}\end{gathered}$

Agora podemos calcular as derivadas parciais. Então, temos:

• Calculando a derivada parcial de segunda ordem da referida função em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{xx}(x, y) = f_{x}\left[f_{x}(x, y)\right]\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[0\right]\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

       Portanto:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{xx}(x, y) = 0\end{gathered}$

• Calculando a derivada parcial de segunda ordem da referida função em termos de "y".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{yy}(x, y) = f_{y}\left[f_{y}(x, y)\right]\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[2\cdot5\cdot y^{2 - 1}\right]\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[10y\right]\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot10\cdot y^{1 - 1}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10\cdot y^{0}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10\cdot 1\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10\end{gathered}$

        Portanto:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{yy}(x, y) = 10\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$