Question

Qual a derivada de f(x)= x^2+3x/x pela definição da derivada usando limite?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{x {}^{2} + 3x}{x}$

A questão quer saber qual a derivada dessa função a partir da definição que usa limite. Primeiro vamos relembrar a expressão da definição, ela diz que:

$f'(x) =\lim_{\Delta x\to 0 } \frac{f(\Delta x + x) - f(x)}{\Delta x}$

Sabendo da definição, vamos calcular aquela função informada f(∆x + x), esse parêntese quer dizer que onde tiver "x" na função inicial teremos que substituir por ∆x + x. Fazendo isso:

$f(x) = \frac{x {}^{2} + 3x }{x} \: \: \: \to f(x) = \frac{x.(x + 3)}{x} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ f(x) = x + 3 \to f(\Delta x + x) = \Delta x + x + 3$

Substituindo essas informações na expressão da derivada por definição:

$f'(x) =\lim_{\Delta x\to 0 } \frac{f(\Delta x + x) - f(x)}{\Delta x} \: \: \: \\ \\ f'(x) =\lim_{\Delta x\to 0 }\frac{\Delta x + x + 3- x - 3}{\Delta x} \\ \\ f'(x) =\lim_{\Delta x\to 0 } \frac{\Delta x}{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ f'(x) =\lim_{\Delta x\to 0 } 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

O limite de uma constante é a própria constante, ou seja, o limite de 1 é 1:

$\boxed{\boxed{f'(x) =1}}$

Espero ter ajudado