Question

Determine as raízes reais da equação biquadradas abaixo:
a)
${t}^{4} - 7 {t}^{2} + 12 = 0$
b)
$8 {m}^{4} - 10 {m}^{2} + 13 = 0$
c)
$25 {x}^{4} = 169 {x}^{2}$
d)
$4 {x}^{4} - 10 {x}^{2} + 9 = 0$
e)
${x}^{4} + 10 {x}^{2} + 9 = 0$
f)
$16 {x}^{4} + 9 = 40 {x}^{2}$
​

Answer 1

Resposta:

a) soluções - 2 ; -√3 ; √3  ; 2

b) não tem raízes reais.

c) soluções    - 13 / 5 ;  0  ; 13 / 5

d) não tem raízes reais.

e) não tem raízes reais.

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Determine as raízes reais da equação biquadradas abaixo:

a)   t^4 -7t² + 12 =0

b) 8m^4 - 10m² + 13 = 0    

c) 25x^4 = 169x²  

d) 4x^4 - 10x² + 9 = 0

e) x^4 + 10x² + 9 = 0

Resolução:

a)   t^4 -7t² + 12 =0

Fazendo y = t²

a equação fica assim:

y² - 7y + 12 = 0

Fórmula de Bhaskara

a =   1

b = - 7

c =  12  

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = ( - 7 )² - 4 * 1 * 12

Δ = 49 - 48 = 1

√Δ = 1    

y' = ( - ( - 7 ) + 1 ) / ( 2 * 1 )

y' = 4

y'' = ( - ( - 7 ) - 1 ) / ( 2 * 1 )

y'' = 6 / 2  = 3

Análise para y = 4

Sendo y = t²

4 = t²

⇔ t = + √4   ∨ t = - √4

⇔ t = + 2    ∨ t = - 2

Pegar na equação original e ver se " 2 " e " - 2 " servem para soluções

t = 2  

t^4 -7t² + 12 =0

2^4 - 7 * 2² + 12 = 0

⇔ 16 - 28 + 12 = 0    

⇔ 0 = 0      verdade universal   t = 2   serve

t = - 2

( - 2 ) ^4  - 7 * ( -2 )² +12 = 0

⇔ 16 - 28 + 12 = 0

⇔ 0 = 0      verdade universal    t = - 2   serve

Análise para y = 3

Sendo y = t²

3 = t²

⇔ t = + √3   ∨ t = - √3

Pegar na equação original e ver se " √3 " e " - √3 " servem para soluções

t = √3

(√3)^4 -7 * (√3)² + 12 =0

⇔ 9 - 7 * 3 + 12 = 0  

⇔ 9 - 21 + 12 = 0

⇔ 0 = 0      verdade universal   t = √3   serve

t = - √3

( - √3 ) ^4  - 7 * ( √3 )² +12 = 0

⇔ 9 - 21 + 12 = 0

⇔ 0 = 0      verdade universal    t = - √3   serve

b) 8m^4 - 10m² + 13 = 0

Fazendo  x = m²

a equação vem

8x² - 10 x + 13 = 0

Se analisarem o Δ ( binómio discriminante ) vão ter uma " surpresa "

Δ = ( - 10 )² - 4 * 8 *  13

Δ = 100 - 416

Δ = - 316

Com Δ < 0  a equação  8x² - 10 x + 13 = 0 não tem raízes reais.

O mesmo acontece com a equação quadrática inicial.

c) 25x^4 = 169x²

Passar tudo para o primeiro membro, trocando sinal quando mudam de membro.

25x^4 - 169x² = 0

Colocar em evidência x²

⇔ 25 * x² * x² - 169 x² = 0

⇔ x² * ( 25 x² - 169 ) = 0  

Um produto é nulo quando pelo menos um dos seus fatores são nulos

⇔ x² = 0   ∨ 25 x² - 169 = 0

⇔ x = 0  ∨ 25 x² - 169 = 0

Cálculo auxiliar

25 x² - 169 = 0

⇔ 5²x² - 13² = 0

⇔ ( 5x )² - 13² = 0

que é um produto notável → a diferença de dois quadrados

⇔ ( 5x + 13 ) * ( 5x - 13 ) = 0  

⇔ 5x + 13  = 0  ∨   5x - 13 = 0

Termos " com x" ficam no primeiro membro.

Termos " sem x" ficam no segundo membro.

Mudança de membro implica troca de sinal

⇔ 5x + 13  = 0  ∨   5x - 13 = 0

⇔ 5x  =  - 13   ∨   5x = 13

Dividindo, por 5. todos os termos em ambas as equações

⇔ 5x/ 5  = - 13 / 5       ∨       5x / 5 = 13 / 5

⇔ x = - 13 / 5       ∨       x =  13 / 5

d) 4x^4 - 10x² + 9 = 0

Fazendo z = x²  fica

4z² - 10z + 9 = 0

Análise de

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = (- 10 )² - 4 * 4 * 9

Δ = 100 - 144

Δ = - 44  < 0   ; quando é menor que zero não há soluções reais

e) x^4 + 10x² + 9 = 0

Fazendo mudança de variável com  t = x²  

t² + 10 t + 9 = 0

Análise do Δ

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = 10²- 4 * 1 * 9

Δ = 100- 36 = 64

VΔ = √64

Δ = 8

t' = ( - 10 + 8 ) /( 2*1 )  

t' =  - 2 / 2 = - 1

t'' = ( - 10 - 8 ) /( 2*1 )

t'' =  - 18 / 2

t'' = - 9

Voltando a mudar de variável vamos ver se alguma destas raízes serve

t = x²

- 1 = x²

⇔ x = ± √- 1     Não dá resultados reais

- 9 = x²

⇔ x =  √- 9     Não dá resultados reais

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir      (⇔) equivalente a  

( V )   ou    (  ± )  mais ou menos  

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.