Question

1- Considere a equação log(3x+1) 3 = log(16x) 9, sendo x positivo e diferente de 1/16. A soma dos valores de x que satisfazem essa equação é?

Answer 1

Resposta:

A resposta é a letra D: 10/9

Explicação passo-a-passo:

Log 3 (3x+1) = 2 Log 3 (16x)

Log 3 (3x+1)/Log 3 (16x) = 2

Log 3x+1/Log 3 / Log 16x/Log 3 = Log 16x/Log3x+1 = 2

(Log 16 + Log x)/Log 3x+1 = 2

4Log 2 + Log x = Log (3x+1)²

4Log 2 = Log (3x+1)²- Log x

4Log 2 = Log (3x+1)²/x

16= (3x+1)²/x

9x²-10x+1=0    

Baskhara: Raízes são 1 e 1/9: Soma 10/9

Answer 2

A soma dos valores de x que satisfazem a equação logarítmica é 10/9.

Mudança de base em logaritmos

Para resolvermos uma equação logarítmica o ideal é deixarmos os dois logaritmos com a mesma base. Para isso fazemos uma mudança de base adequada:

$log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}$

Como os logaritmandos são potências de 3, essa seria a base adequada:

$log_{3x + 1}3 = \frac{log_33}{log_3{3x+1}} = \frac{1}{log_3{3x+1}}\\\\log_{16x}9 = \frac{log_39}{log_3{16x}} = \frac{2}{log_3{16x}}$

Equação logarítmica

Aí ficamos com uma equação logaritmica. Para resolvermos, precisamos ficar com um logaritmo de mesma base de cada lado da igualdade:

$\frac{1}{log_3{(3x+1)}} = \frac{2}{log_3{16x}}\\\\2\cdot log_3{(3x+1)} = log_3{16x} \\\\log_3{(3x+1)^2} = log_3{16x}$

9x² + 6x + 1 = 16x

9x² - 10x + 1 = 0

Equação quadrática

Agora resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara com a = 9, b = -10 e c = 1

Δ = b² - 4 · a · c

x = (-b ± √Δ)/2a

Δ = (-10)² - 4 · 9 · 1

Δ = 100 - 36 = 64

x = (-(-10) ± √64)/(2·9)

x = (10 ± 8)/(18)

x₁ = 18/18 = 1

x₂ = 2/18 = 1/9

A soma das raízes é

1 + 1/9 = 9/9 + 1/9 = 10/9

Veja mais sobre equações logaritmicas em:

https://brainly.com.br/tarefa/50715801

#SPJ2