Question

QUAIS QUESTÕES FAZEM AFIRMAÇÕES VERDADEIRAS ?

OBS : SE RESPONDER APENAS PARA GANHAR PONTOS SERÁ DENUNCIADO.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

01) Falsa

Teremos $\sf \dfrac{270}{360}=\dfrac{3}{4}$ de um tronco de cone

O volume de um tronco de cone é dado por:

$\sf V=\dfrac{(B^2+\sqrt{B\cdot b}+b^2)\cdot\pi\cdot h}{3}$

Temos:

• $\sf B=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$

• $\sf b=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

• $\sf h=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Assim:

$\sf V=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{(B^2+\sqrt{B\cdot b}+b^2)\cdot\pi\cdot h}{3}$

$\sf V=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{[(3\sqrt{2})^2+\sqrt{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+(\sqrt{2})^2]\cdot\pi\cdot\sqrt{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{[9\cdot2+\sqrt{3\cdot2}+2]\cdot\pi\cdot\sqrt{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{[18+\sqrt{6}+2]\cdot\pi\cdot\sqrt{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{(20+\sqrt{6})\cdot\pi\cdot\sqrt{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{3}{4}\cdot\Big(\dfrac{20\pi\sqrt{2}+\pi\sqrt{12}}{3}\Big)$

$\sf V=\dfrac{3}{4}\cdot\Big(\dfrac{20\pi\sqrt{2}+2\pi\sqrt{3}}{3}\Big)$

$\sf V=\dfrac{60\pi\sqrt{2}+6\pi\sqrt{3}}{12}$

$\sf \red{V=\dfrac{10\pi\sqrt{2}+\pi\sqrt{3}}{2}}$

02) Verdadeira

Pela fórmula de Heron, a área desse triângulo é:

$\sf A=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$

• $\sf p=\dfrac{a+b+c}{2}~\Rightarrow~semiperimetro$

$\sf p=\dfrac{5+5+6}{2}$

$\sf p=\dfrac{16}{2}$

$\sf p=8$

• $\sf A=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$

$\sf A=\sqrt{8\cdot(8-5)\cdot(8-5)\cdot(8-6)}$

$\sf A=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}$

$\sf A=\sqrt{144}$

$\sf \red{A=12}$

=> raio da circunferência inscrita

A área de um triângulo em função do raio da circunferência inscrita é:

$\sf A=p\cdot r$

Assim:

$\sf p\cdot r=12$

$\sf 8\cdot r=12$

$\sf r=\dfrac{12}{8}$

$\sf r=\dfrac{3}{2}$

=> raio da circunferência circunscrita

A área de um triângulo em função do raio da circunferência circunscrita é:

$\sf A=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{4R}$

Assim:

$\sf \dfrac{a\cdot b\cdot c}{4R}=12$

$\sf \dfrac{5\cdot5\cdot6}{4R}=12$

$\sf \dfrac{150}{4R}=12$

$\sf 12\cdot4R=150$

$\sf 48\cdot R=150$

$\sf R=\dfrac{150}{48}$

$\sf R=\dfrac{25}{8}$

08) Falsa

O maior volume é obtido quando os catetos são iguais

Teremos o raio da base do cone e a altura cone iguais à medida da metade da hipotenusa

Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa é $\sf \sqrt{b^2+c^2}$

O volume um cone é dado por:

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}$

Temos:

• $\sf r=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}$

• $\sf h=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}$

Assim:

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}$

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot\Big(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\Big)^2\cdot\Big(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\Big)}{3}$

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot\Big(\frac{b^2+c^2}{4}\Big)\cdot\Big(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\Big)}{3}$

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot\Big(\frac{(b^2+c^2)\cdot\sqrt{b^2+c^2}}{8}\Big)}{3}$

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot(b^2+c^2)\cdot\sqrt{b^2+c^2}}{8}\cdot\dfrac{1}{3}$

$\sf \red{V=\dfrac{\pi\cdot(b^2+c^2)\cdot\sqrt{b^2+c^2}}{24}}$

16) Falsa

• Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf y^2=x^2+1^2$

$\sf y^2=x^2+1$

A área do quadrado ABCD é $\sf 1^2=1$

Esse quadrado é formado por 4 triângulos, de áreas:

• $\sf A_{ADF}=\dfrac{x\cdot1}{2}=\dfrac{x}{2}$

• $\sf A_{ABE}=\dfrac{x\cdot1}{2}=\dfrac{x}{2}$

• $\sf A_{CEF}=\dfrac{(1-x)\cdot(1-x)}{2}=\dfrac{(1-x)^2}{2}$

• $\sf A_{AEF}=\dfrac{y^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{(x^2+1)\sqrt{3}}{4}$

Assim:

$\sf \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{(1-x)^2}{2}+\dfrac{(x^2+1)\sqrt{3}}{4}=1$

$\sf 2x+2x+2\cdot(1-x)^2+(x^2+1)\sqrt{3}=4\cdot1$

$\sf 4x+2\cdot(1-2x+x^2)+\sqrt{3}\cdot x^2+\sqrt{3}=4$

$\sf 4x+2-4x+2x^2+\sqrt{3}\cdot x^2+\sqrt{3}=4$

$\sf 2x^2+\sqrt{3}\cdot x^2=4-2-\sqrt{3}$

$\sf (2+\sqrt{3})x^2=2-\sqrt{3}$

$\sf x^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

$\sf x^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

$\sf x^2=\dfrac{4-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3}{2^2-(\sqrt{3})^2}$

$\sf x^2=\dfrac{7-4\sqrt{3}}{4-3}$

$\sf x^2=\dfrac{7-4\sqrt{3}}{1}$

$\sf x^2=7-4\sqrt{3}$

A área do triângulo AEF é:

$\sf A_{AEF}=\dfrac{(x^2+1)\sqrt{3}}{4}$

$\sf A_{AEF}=\dfrac{(7-4\sqrt{3}+1)\sqrt{3}}{4}$

$\sf A_{AEF}=\dfrac{(8-4\sqrt{3})\sqrt{3}}{4}$

$\sf A_{AEF}=\dfrac{8\sqrt{3}-4\cdot3}{4}$

$\sf A_{AEF}=\dfrac{8\sqrt{3}-12}{4}$

$\sf \red{A_{AEF}=2\sqrt{3}-3}$