Question

a soma das raízes da equação |x²-3x|= 2

Answer 1

$\left|x^{2}-3x\right|=2\\ \\ x^{2}-3x=\pm 2\\ \\ \begin{array}{rcl} x^{2}-3x=2\;\;\text{ ou }\;\;x^{2}-3x=-2 \end{array}$


A soma das raízes de uma equação do segundo grau na forma

$ax^{2}+bx+c=0,\;\;\;a \neq 0$

é dada por

$S=-\dfrac{b}{a}$


Resolvendo cada uma das duas equações separadamente, temos:

$\bullet\;\;x^{2}-3x=2\\ \\ x^{2}-3x-2=0\;\;\Rightarrow\;\;a=1,\;b=-3,\;c=-2\\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)\\ \\ \Delta=9+8\\ \\ \Delta=17\\ \\ \\ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{17}}{2\cdot 1}\\ \\ x=\dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} x_{1}=\dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\;\;&\text{ e }&\;\;x_{2}=\dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \end{array}$


A soma das raízes desta primeira equação é

$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}\\ \\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac{(-3)}{1}\\ \\ x_{1}+x_{2}=3$


$\bullet\;\;x^{2}-3x=-2\\ \\ x^{2}-3x+2=0\;\;\Rightarrow\;\;a=1,\;b=-3,\;c=-2\\ \\ x^{2}-2x-x+2=0\\ \\ x\,(x-2)-1\,(x-2)=0\\ \\ (x-2)\,(x-1)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-2=0\;\;&\text{ ou }&\;\;x-1=0\\ \\ x_{3}=2\;\;&\text{ e }&\;\;x_{4}=1 \end{array}$


A soma das raízes desta segunda equação também é

$x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}\\ \\ x_{3}+x_{4}=-\dfrac{(-3)}{1}\\ \\ x_{3}+x_{4}=3$


Portanto, a soma das raízes da equação

$\left|x^{2}-3x\right|=2$

é

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\\ \\ =(x_{1}+x_{2})+(x_{3}+x_{4})\\ \\ =3+3\\ \\ =6$